Номер 5.5, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.5. Выразите в уравнении одну переменную через другую.

а) $6x^4 - 11x^3y - 18x^2y^2 - 11xy^3 + 6y^4 = 0;$

б) $2x^4 + 7x^3y + 9x^2y^2 + 7xy^3 + 2y^4 = 0;$

в) $18a^4 - 21a^3b - 94a^2b^2 - 21ab^3 + 18b^4 = 0;$

г) $10u^4 - 27u^3v + 25u^2v^2 - 27uv^3 + 10v^4 = 0.$

а) Дано уравнение: $6x^4 - 11x^3y - 18x^2y^2 - 11xy^3 + 6y^4 = 0$.

Это симметричное однородное уравнение четвертой степени. Такие уравнения также называют возвратными. Для его решения предположим, что $y \neq 0$, и разделим обе части уравнения на $y^4$:

$6\left(\frac{x}{y}\right)^4 - 11\left(\frac{x}{y}\right)^3 - 18\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 11\left(\frac{x}{y}\right) + 6 = 0$.

Сделаем замену переменной $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$6t^4 - 11t^3 - 18t^2 - 11t + 6 = 0$.

Поскольку $t=0$ не является корнем этого уравнения (при подстановке $t=0$ получаем $6=0$), мы можем разделить обе части на $t^2$:

$6t^2 - 11t - 18 - \frac{11}{t} + \frac{6}{t^2} = 0$.

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

$6\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) - 11\left(t + \frac{1}{t}\right) - 18 = 0$.

Введем новую переменную $z = t + \frac{1}{t}$. Возведя обе части в квадрат, получим $z^2 = \left(t + \frac{1}{t}\right)^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$, откуда следует, что $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

Подставим это выражение в сгруппированное уравнение:

$6(z^2 - 2) - 11z - 18 = 0$

$6z^2 - 12 - 11z - 18 = 0$

$6z^2 - 11z - 30 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $z$ с помощью дискриминанта:

$D = (-11)^2 - 4(6)(-30) = 121 + 720 = 841 = 29^2$.

$z_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm 29}{12}$.

Корни уравнения для $z$:

$z_1 = \frac{11 + 29}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

$z_2 = \frac{11 - 29}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $z$.

1) При $z = \frac{10}{3}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$. Умножим обе части на $3t$ (при $t\neq0$):

$3t^2 + 3 = 10t \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{6}$. Отсюда $t_1 = \frac{18}{6} = 3$, $t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2) При $z = -\frac{3}{2}$ имеем $t + \frac{1}{t} = -\frac{3}{2}$. Умножим обе части на $2t$:

$2t^2 + 2 = -3t \implies 2t^2 + 3t + 2 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0$, поэтому действительных корней для $t$ в этом случае нет.

Таким образом, мы получили два действительных значения для $t = \frac{x}{y}$: $3$ и $\frac{1}{3}$.

Из $t_1 = 3$ следует $\frac{x}{y} = 3$, или $x=3y$.

Из $t_2 = \frac{1}{3}$ следует $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, или $y=3x$.

Ответ: $x=3y$ или $y=3x$.

б) Дано уравнение: $2x^4 + 7x^3y + 9x^2y^2 + 7xy^3 + 2y^4 = 0$.

Это также симметричное однородное уравнение. Разделим его на $y^4$ (при $y \neq 0$):

$2\left(\frac{x}{y}\right)^4 + 7\left(\frac{x}{y}\right)^3 + 9\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0$.

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $2t^4 + 7t^3 + 9t^2 + 7t + 2 = 0$.

Разделим на $t^2$ ($t \neq 0$):

$2t^2 + 7t + 9 + \frac{7}{t} + \frac{2}{t^2} = 0$.

Сгруппируем: $2\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) + 7\left(t + \frac{1}{t}\right) + 9 = 0$.

Сделаем замену $z = t + \frac{1}{t}$, тогда $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

$2(z^2 - 2) + 7z + 9 = 0$

$2z^2 - 4 + 7z + 9 = 0$

$2z^2 + 7z + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = 7^2 - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9 = 3^2$.

$z_{1,2} = \frac{-7 \pm 3}{4}$.

$z_1 = \frac{-7+3}{4} = -1$, $z_2 = \frac{-7-3}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Выполним обратную замену.

1) При $z = -1$ имеем $t + \frac{1}{t} = -1 \implies t^2 + t + 1 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$, действительных корней нет.

2) При $z = -\frac{5}{2}$ имеем $t + \frac{1}{t} = -\frac{5}{2} \implies 2t^2 + 5t + 2 = 0$.

Решим это уравнение: $D = 5^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_{1,2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$. Отсюда $t_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-8}{4} = -2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

Из $t_1 = -\frac{1}{2}$ следует $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, или $y=-2x$.

Из $t_2 = -2$ следует $\frac{x}{y} = -2$, или $x=-2y$.

Ответ: $y=-2x$ или $x=-2y$.

в) Дано уравнение: $18a^4 - 21a^3b - 94a^2b^2 - 21ab^3 + 18b^4 = 0$.

Уравнение является симметричным и однородным. Разделим на $b^4$ (при $b \neq 0$):

$18\left(\frac{a}{b}\right)^4 - 21\left(\frac{a}{b}\right)^3 - 94\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 21\left(\frac{a}{b}\right) + 18 = 0$.

Пусть $t = \frac{a}{b}$, тогда $18t^4 - 21t^3 - 94t^2 - 21t + 18 = 0$.

Разделим на $t^2$ ($t \neq 0$): $18t^2 - 21t - 94 - \frac{21}{t} + \frac{18}{t^2} = 0$.

Сгруппируем: $18\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) - 21\left(t + \frac{1}{t}\right) - 94 = 0$.

Сделаем замену $z = t + \frac{1}{t}$, тогда $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

$18(z^2 - 2) - 21z - 94 = 0$

$18z^2 - 36 - 21z - 94 = 0$

$18z^2 - 21z - 130 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-21)^2 - 4(18)(-130) = 441 + 9360 = 9801 = 99^2$.

$z_{1,2} = \frac{21 \pm 99}{36}$.

$z_1 = \frac{21+99}{36} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$, $z_2 = \frac{21-99}{36} = \frac{-78}{36} = -\frac{13}{6}$.

Выполним обратную замену.

1) При $z = \frac{10}{3}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 3$, $t_2 = \frac{1}{3}$.

2) При $z = -\frac{13}{6}$ имеем $t + \frac{1}{t} = -\frac{13}{6} \implies 6t^2 + 13t + 6 = 0$.

Решим это уравнение: $D = 13^2 - 4(6)(6) = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$t_{3,4} = \frac{-13 \pm 5}{12}$. Отсюда $t_3 = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$, $t_4 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, мы получили четыре соотношения между $a$ и $b$:

Из $t_1 = 3$ следует $\frac{a}{b} = 3 \implies a = 3b$.

Из $t_2 = \frac{1}{3}$ следует $\frac{a}{b} = \frac{1}{3} \implies b=3a$.

Из $t_3 = -\frac{2}{3}$ следует $\frac{a}{b} = -\frac{2}{3} \implies 3a = -2b$.

Из $t_4 = -\frac{3}{2}$ следует $\frac{a}{b} = -\frac{3}{2} \implies 2a = -3b$.

Ответ: $a=3b$, или $b=3a$, или $3a=-2b$, или $2a=-3b$.

г) Дано уравнение: $10u^4 - 27u^3v + 25u^2v^2 - 27uv^3 + 10v^4 = 0$.

Это симметричное однородное уравнение. Разделим на $v^4$ (при $v \neq 0$):

$10\left(\frac{u}{v}\right)^4 - 27\left(\frac{u}{v}\right)^3 + 25\left(\frac{u}{v}\right)^2 - 27\left(\frac{u}{v}\right) + 10 = 0$.

Пусть $t = \frac{u}{v}$, тогда $10t^4 - 27t^3 + 25t^2 - 27t + 10 = 0$.

Разделим на $t^2$ ($t \neq 0$): $10t^2 - 27t + 25 - \frac{27}{t} + \frac{10}{t^2} = 0$.

Сгруппируем: $10\left(t^2 + \frac{1}{t^2}\right) - 27\left(t + \frac{1}{t}\right) + 25 = 0$.

Сделаем замену $z = t + \frac{1}{t}$, тогда $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 - 2$.

$10(z^2 - 2) - 27z + 25 = 0$

$10z^2 - 20 - 27z + 25 = 0$

$10z^2 - 27z + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение: $D = (-27)^2 - 4(10)(5) = 729 - 200 = 529 = 23^2$.

$z_{1,2} = \frac{27 \pm 23}{20}$.

$z_1 = \frac{27+23}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$, $z_2 = \frac{27-23}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Выполним обратную замену.

1) При $z = \frac{5}{2}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решим это уравнение: $D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Отсюда $t_1 = \frac{8}{4} = 2$, $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2) При $z = \frac{1}{5}$ имеем $t + \frac{1}{t} = \frac{1}{5} \implies 5t^2 - t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(5)(5) = 1 - 100 = -99 < 0$, действительных корней нет.

Возвращаемся к исходным переменным:

Из $t_1 = 2$ следует $\frac{u}{v} = 2$, или $u=2v$.

Из $t_2 = \frac{1}{2}$ следует $\frac{u}{v} = \frac{1}{2}$, или $v=2u$.

Ответ: $u=2v$ или $v=2u$.