Страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какое выражение называется многочленом с несколькими переменными?

2. Что называется степенью многочлена?

3. Как сравниваются ранги членов многочлена?

4. Что мы называем стандартным видом многочлена?

5. Какие многочлены называются однородными многочленами степени $m$?

6. Какое уравнение называется уравнением с несколькими переменными? Что нужно понимать под решением такого уравнения?

7. Какие многочлены называются симметрическими? Приведите пример.

8. Что такое элементарные симметрические многочлены? Какими свойствами они обладают?

1. Какое выражение называется многочленом с несколькими переменными?

Многочленом с несколькими переменными (например, $x_1, x_2, \ldots, x_n$) называется алгебраическая сумма одночленов. Одночлен (или моном) — это выражение, представляющее собой произведение числа (коэффициента) и переменных, возведенных в неотрицательные целые степени. Например, $ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$, где $a$ — коэффициент, а $k_i$ — неотрицательные целые числа.

Например, выражение $P(x, y) = 5x^3y^2 - 2xy^4 + 7x - 8$ является многочленом от двух переменных $x$ и $y$. Его членами являются одночлены $5x^3y^2$, $-2xy^4$, $7x$ и $-8$.

Ответ: Многочленом с несколькими переменными называется алгебраическая сумма одночленов от этих переменных.

2. Что называется степенью многочлена?

Степенью многочлена с несколькими переменными называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов (членов многочлена). Степенью одночлена, в свою очередь, называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень свободного члена (числа) равна нулю.

Например, рассмотрим многочлен $P(x, y) = 5x^3y^2 - 2xy^4 + 7x - 8$.

Степени его членов:

- Степень $5x^3y^2$ равна $3+2=5$.

- Степень $-2xy^4$ (то есть $-2x^1y^4$) равна $1+4=5$.

- Степень $7x$ (то есть $7x^1$) равна $1$.

- Степень $-8$ равна $0$.

Наибольшая из этих степеней — 5. Следовательно, степень многочлена $P(x, y)$ равна 5.

Ответ: Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его членов.

3. Как сравниваются ранги членов многочлена?

Ранг члена многочлена — это другое название его степени. Соответственно, ранги членов многочлена сравниваются как их степени. Степень (ранг) каждого члена вычисляется как сумма показателей степеней всех переменных в этом члене. Затем полученные числа сравниваются между собой.

Член многочлена имеет более высокий ранг, если его степень больше. Если степени двух членов равны, их ранги считаются одинаковыми. Иногда для упорядочивания членов с одинаковым рангом используют дополнительное правило, например, лексикографический порядок. В лексикографическом порядке сравнивают показатели степеней переменных в алфавитном порядке. Например, для переменных $x, y$ ($x$ старше $y$) член $x^3y^2$ (степень 5) старше, чем $x^2y^3$ (степень 5), так как у первого показатель степени при $x$ больше ($3 > 2$).

Ответ: Ранги (степени) членов многочлена сравниваются как целые числа, равные сумме показателей степеней переменных в каждом члене.

4. Что мы называем стандартным видом многочлена?

Многочлен с несколькими переменными записан в стандартном виде, если выполнены следующие условия:

1. Все члены многочлена являются одночленами стандартного вида (то есть числовой коэффициент стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в определенном порядке, например, алфавитном).

2. Приведены все подобные члены (то есть сложены все одночлены с одинаковой буквенной частью).

3. Члены многочлена упорядочены по убыванию их степеней (рангов). Члены с одинаковой степенью обычно упорядочивают по лексикографическому принципу.

Например, многочлен $3yx + 5x^2 - 2xy + 4$ в нестандартном виде. Приведение к стандартному виду:

1. Приводим подобные члены: $3yx - 2xy = 3xy - 2xy = xy$.

2. Получаем многочлен $xy + 5x^2 + 4$.

3. Упорядочиваем по убыванию степеней: степень $5x^2$ равна 2, степень $xy$ равна $1+1=2$, степень $4$ равна 0. Упорядочим члены степени 2 лексикографически ($x$ старше $y$): $5x^2 + xy + 4$. Это и есть стандартный вид.

Ответ: Стандартный вид многочлена — это его запись в виде суммы неподобных одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания их степеней.

5. Какие многочлены называются однородными многочленами степени m?

Многочлен называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень. Однородным многочленом степени $m$ называется многочлен, у которого степень каждого его члена равна $m$.

Например, многочлен $P(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ является однородным многочленом степени 3, так как:

- Степень $x^3$ равна 3.

- Степень $y^3$ равна 3.

- Степень $z^3$ равна 3.

- Степень $-3xyz$ равна $1+1+1=3$.

Многочлен $Q(x,y) = x^2 + y$ не является однородным, так как степень члена $x^2$ равна 2, а степень члена $y$ равна 1.

Ответ: Однородными многочленами степени $m$ называются многочлены, все члены которых имеют степень $m$.

6. Какое уравнение называется уравнением с несколькими переменными? Что нужно понимать под решением такого уравнения?

Уравнением с несколькими переменными $x_1, x_2, \ldots, x_n$ называется равенство вида $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = g(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, где $f$ и $g$ — некоторые выражения (чаще всего многочлены) от этих переменных. Такое уравнение можно всегда свести к виду $F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0$, где $F = f - g$.

Решением уравнения с $n$ переменными называется упорядоченный набор из $n$ чисел $(c_1, c_2, \ldots, c_n)$, который при подстановке вместо переменных $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ обращает уравнение в верное числовое равенство.

Например, для уравнения с двумя переменными $x^2 + y^2 = 25$, решением является пара чисел $(3, 4)$, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Другим решением является пара $(-5, 0)$. А пара $(1, 1)$ решением не является, так как $1^2 + 1^2 = 2 \neq 25$. Множество всех решений этого уравнения образует окружность на координатной плоскости.

Ответ: Уравнение с несколькими переменными — это равенство, содержащее эти переменные. Решение такого уравнения — это упорядоченный набор значений переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.

7. Какие многочлены называются симметрическими? Приведите пример.

Многочлен $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке его переменных. То есть, если поменять местами любые две переменные (например, $x_i$ и $x_j$), вид многочлена не изменится.

Примеры симметрических многочленов:

- От двух переменных $x, y$:

- $P(x, y) = x+y$. При замене $x \leftrightarrow y$ получаем $y+x$, что то же самое.

- $P(x, y) = x^2 + y^2$. При замене $x \leftrightarrow y$ получаем $y^2 + x^2$.

- $P(x, y) = x^3y + xy^3$. При замене $x \leftrightarrow y$ получаем $y^3x + yx^3$.

- От трех переменных $x, y, z$:

- $P(x, y, z) = x+y+z$

- $P(x, y, z) = xy+yz+zx$

- $P(x, y, z) = xyz$

Пример несимметрического многочлена: $P(x, y) = x-y$. При замене $x \leftrightarrow y$ получаем $y-x = -(x-y)$, что не равно исходному многочлену (кроме случая $x=y$).

Ответ: Симметрическими называются многочлены, которые не изменяют своего вида при любой перестановке переменных. Пример: $P(x, y) = x^2 + xy + y^2$.

8. Что такое элементарные симметрические многочлены? Какими свойствами они обладают?

Элементарными симметрическими многочленами от $n$ переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$ называются следующие $n$ многочленов $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$:

$\sigma_1 = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ (сумма всех переменных)

$\sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n$ (сумма всех попарных произведений)

$\sigma_3 = \sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k$ (сумма всех произведений по три)

...

$\sigma_n = x_1x_2\cdots x_n$ (произведение всех переменных)

Например, для трех переменных $x, y, z$ элементарными симметрическими многочленами являются:

$\sigma_1 = x+y+z$

$\sigma_2 = xy+yz+zx$

$\sigma_3 = xyz$

Свойства:

1. Основная теорема о симметрических многочленах. Это ключевое свойство. Она гласит, что любой симметрический многочлен от переменных $x_1, \ldots, x_n$ может быть единственным образом представлен в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$. Например, $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.

2. Связь с корнями многочлена (формулы Виета). Если $x_1, \ldots, x_n$ — корни многочлена $P(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_0$, то его коэффициенты выражаются через элементарные симметрические многочлены от корней: $a_{n-k} = (-1)^k\sigma_k(x_1, \ldots, x_n)$.

Ответ: Элементарные симметрические многочлены — это базовые симметрические многочлены (сумма переменных, сумма попарных произведений и т.д.), из которых, согласно основной теореме, можно выразить любой другой симметрический многочлен.