Номер 5.24, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24. Найдите целые корни и разложите на множители:

1) $x^3 - 7x - 6$;

2) $x^3 + 9x^2 + 11x - 21$;

3) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$;

4) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$;

5) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$;

6) $x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$.

1) $x^3 - 7x - 6$

Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.Свободный член равен $-6$. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Пусть $P(x) = x^3 - 7x - 6$. Проверим делители:
$P(1) = 1^3 - 7(1) - 6 = 1 - 7 - 6 = -12 \neq 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
$P(2) = 2^3 - 7(2) - 6 = 8 - 14 - 6 = -12 \neq 0$
$P(-2) = (-2)^3 - 7(-2) - 6 = -8 + 14 - 6 = 0$. Значит, $x = -2$ — корень.
$P(3) = 3^3 - 7(3) - 6 = 27 - 21 - 6 = 0$. Значит, $x = 3$ — корень.
Мы нашли три целых корня: $-1, -2, 3$. Так как многочлен третьей степени не может иметь более трех корней, это все его корни.
Разложение на множители имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$.
$(x - (-1))(x - (-2))(x - 3) = (x+1)(x+2)(x-3)$.
Ответ: Целые корни: $-2, -1, 3$. Разложение на множители: $(x+1)(x+2)(x-3)$.

2) $x^3 + 9x^2 + 11x - 21$

Свободный член равен $-21$. Его целые делители: $\pm1, \pm3, \pm7, \pm21$.
Пусть $P(x) = x^3 + 9x^2 + 11x - 21$. Проверим делители:
$P(1) = 1^3 + 9(1)^2 + 11(1) - 21 = 1 + 9 + 11 - 21 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.
Следовательно, многочлен делится на $(x - 1)$ без остатка. Выполним деление столбиком или по схеме Горнера:
$(x^3 + 9x^2 + 11x - 21) : (x - 1) = x^2 + 10x + 21$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 10x + 21$. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -10$, $x_1 \cdot x_2 = 21$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -7$.
Таким образом, $x^2 + 10x + 21 = (x+3)(x+7)$.
Итоговое разложение: $(x - 1)(x + 3)(x + 7)$.
Целые корни многочлена: $1, -3, -7$.
Ответ: Целые корни: $-7, -3, 1$. Разложение на множители: $(x-1)(x+3)(x+7)$.

3) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$

Свободный член равен $-9$. Его целые делители: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Пусть $P(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 9$. Проверим делители:
$P(1) = 1^3 + 5(1)^2 + 3(1) - 9 = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x - 1)$:
$(x^3 + 5x^2 + 3x - 9) : (x - 1) = x^2 + 6x + 9$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Итоговое разложение: $(x - 1)(x + 3)^2$.
Целые корни многочлена: $1$ и $-3$ (корень кратности 2).
Ответ: Целые корни: $-3, 1$. Разложение на множители: $(x-1)(x+3)^2$.

4) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15$

Свободный член равен $15$. Его целые делители: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$.
Так как все коэффициенты многочлена положительны, его положительных корней быть не может. Проверяем отрицательные делители.
Пусть $P(x) = x^3 + 9x^2 + 23x + 15$.
$P(-1) = (-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x + 1)$:
$(x^3 + 9x^2 + 23x + 15) : (x + 1) = x^2 + 8x + 15$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 15$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -8$, $x_1 \cdot x_2 = 15$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -5$.
Таким образом, $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$.
Итоговое разложение: $(x + 1)(x + 3)(x + 5)$.
Целые корни многочлена: $-1, -3, -5$.
Ответ: Целые корни: $-5, -3, -1$. Разложение на множители: $(x+1)(x+3)(x+5)$.

5) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$

Свободный член равен $4$. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Пусть $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$.
$P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1) + 4 = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4) : (x+1) = x^3 - 3x^2 + 4$.
Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Его возможные целые корни также являются делителями числа $4$: $\pm1, \pm2, \pm4$.
$Q(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Значит, $x = 2$ — корень.
Разделим $Q(x)$ на $(x-2)$:
$(x^3 - 3x^2 + 4) : (x-2) = x^2 - x - 2$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1=2, x_2=-1$.
Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.
Собираем все множители: $P(x) = (x+1)(x-2)(x-2)(x+1) = (x+1)^2(x-2)^2$.
Целые корни многочлена: $-1$ (кратность 2) и $2$ (кратность 2).
Ответ: Целые корни: $-1, 2$. Разложение на множители: $(x+1)^2(x-2)^2$.

6) $x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$

Свободный член равен $-4$. Его целые делители: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Пусть $P(x) = x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4$.
$P(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^3 - 14(-1)^2 - 11(-1) - 4 = 1 + 6 - 14 + 11 - 4 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x^4 - 6x^3 - 14x^2 - 11x - 4) : (x+1) = x^3 - 7x^2 - 7x - 4$.
Теперь ищем корни многочлена $Q(x) = x^3 - 7x^2 - 7x - 4$. Его возможные целые корни также являются делителями числа $-4$: $\pm1, \pm2, \pm4$.
$Q(1) = 1-7-7-4 = -17 \neq 0$
$Q(-1) = -1-7+7-4 = -5 \neq 0$
$Q(2) = 8 - 28 - 14 - 4 = -38 \neq 0$
$Q(-2) = -8 - 28 + 14 - 4 = -26 \neq 0$
$Q(4) = 64 - 112 - 28 - 4 = -80 \neq 0$
$Q(-4) = -64 - 112 + 28 - 4 = -152 \neq 0$
Многочлен $Q(x)$ не имеет целых корней. Следовательно, исходный многочлен имеет только один целый корень.
Разложение на множители над полем рациональных чисел на этом завершено.
Ответ: Целый корень: $-1$. Разложение на множители: $(x+1)(x^3 - 7x^2 - 7x - 4)$.