Номер 5.65, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.65. При каких значениях $a$ оба корня квадратного трехчлена $x^2 - (a + 1)x + a + 4$ отрицательные?

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена $x^2 - (a + 1)x + a + 4$ были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система из трех условий.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного трехчлена. Условия того, что оба корня отрицательны ($x_1 < 0$ и $x_2 < 0$), основываются на теореме Виета и свойстве дискриминанта:

1. Наличие действительных корней. Дискриминант $D$ должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.

2. Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть отрицательной.

3. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ должно быть положительным.

Составим систему неравенств для параметра $a$.

Дискриминант $D = (-(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+4) = (a+1)^2 - 4(a+4) = a^2 + 2a + 1 - 4a - 16 = a^2 - 2a - 15$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = a+1$ и $x_1 \cdot x_2 = a+4$.

Система неравенств выглядит следующим образом:

$\begin{cases} a^2 - 2a - 15 \ge 0 \\ a+1 < 0 \\ a+4 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство: $a^2 - 2a - 15 \ge 0$. Корнями уравнения $a^2 - 2a - 15 = 0$ являются $a_1 = -3$ и $a_2 = 5$. Поскольку ветви параболы $y=a^2 - 2a - 15$ направлены вверх, решение неравенства есть $a \in (-\infty; -3] \cup [5; +\infty)$.

Второе неравенство: $a+1 < 0$, откуда $a < -1$, то есть $a \in (-\infty; -1)$.

Третье неравенство: $a+4 > 0$, откуда $a > -4$, то есть $a \in (-4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Пересечение второго и третьего неравенств дает интервал $a \in (-4; -1)$.

Найдем пересечение этого интервала с решением первого неравенства: $a \in (-4; -1) \cap ((-\infty; -3] \cup [5; +\infty))$.

Пересекая $(-4; -1)$ с $(-\infty; -3]$, получаем $(-4; -3]$.

Пересечение $(-4; -1)$ с $[5; +\infty)$ пусто.

Следовательно, искомые значения параметра $a$ принадлежат промежутку $(-4; -3]$.

Ответ: $a \in (-4; -3]$.