Номер 5.69, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.69. 1) $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0;$

2) $6x^4 - 13x^3 + 12x^2 - 13x + 6 = 0;$

3) $x^4 - 10x^3 + 26x^2 - 10x + 1 = 0;$

4) $2x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x + 2 = 0.$

1) $x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 5x + 1 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Так как $x=0$ не является корнем, разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + 5x + 2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0$

Введем замену переменной $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(y^2 - 2) + 5y + 2 = 0$

$y^2 + 5y = 0$

$y(y+5) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -5$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, решив два уравнения:

1. При $y=0$ имеем: $x + \frac{1}{x} = 0$. Умножим на $x \neq 0$: $x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = -1$. Корни этого уравнения $x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y=-5$ имеем: $x + \frac{1}{x} = -5$. Умножим на $x$: $x^2 + 1 = -5x$, что равносильно квадратному уравнению $x^2 + 5x + 1 = 0$.

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни: $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $x \in \{ i, -i, \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{21}}{2} \}$.

2) $6x^4 - 13x^3 + 12x^2 - 13x + 6 = 0$

Это симметричное уравнение. Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:

$6x^2 - 13x + 12 - \frac{13}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$6(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 13(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$6(y^2 - 2) - 13y + 12 = 0$

$6y^2 - 12 - 13y + 12 = 0$

$6y^2 - 13y = 0$

$y(6y - 13) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = \frac{13}{6}$.

Произведем обратную замену:

1. При $y=0$: $x + \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x_{1,2} = \pm i$.

2. При $y=\frac{13}{6}$: $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$. Умножим на $6x$: $6x^2 + 6 = 13x$, что дает уравнение $6x^2 - 13x + 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

Корни: $x = \frac{13 \pm 5}{12}$.

$x_3 = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

$x_4 = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in \{ i, -i, \frac{3}{2}, \frac{2}{3} \}$.

3) $x^4 - 10x^3 + 26x^2 - 10x + 1 = 0$

Это симметричное уравнение. Поскольку $x=0$ не является корнем, делим на $x^2$:

$x^2 - 10x + 26 - \frac{10}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Группируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 10(x + \frac{1}{x}) + 26 = 0$

Вводим замену $y = x + \frac{1}{x}$, из которой следует $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставляем:

$(y^2 - 2) - 10y + 26 = 0$

$y^2 - 10y + 24 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 + y_2 = 10$, $y_1 \cdot y_2 = 24$. Легко видеть, что $y_1=4$ и $y_2=6$.

Выполняем обратную замену:

1. При $y=4$: $x + \frac{1}{x} = 4 \implies x^2 - 4x + 1 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

2. При $y=6$: $x + \frac{1}{x} = 6 \implies x^2 - 6x + 1 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.

Корни: $x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in \{ 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{2}, 3 - 2\sqrt{2} \}$.

4) $2x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x + 2 = 0$

Это уравнение является кососимметричным. Так как $x=0$ не корень, делим на $x^2$:

$2x^2 + 3x - 4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Группируем:

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x - \frac{1}{x}) - 4 = 0$

Для такого типа уравнений используется замена $y = x - \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.

Подставляем в уравнение:

$2(y^2 + 2) + 3y - 4 = 0$

$2y^2 + 4 + 3y - 4 = 0$

$2y^2 + 3y = 0$

$y(2y + 3) = 0$

Получаем $y_1 = 0$ и $y_2 = -\frac{3}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. При $y=0$: $x - \frac{1}{x} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2=1$, откуда $x_{1,2} = \pm 1$.

2. При $y = -\frac{3}{2}$: $x - \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$. Умножим на $2x$: $2x^2 - 2 = -3x$, что дает $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $x = \frac{-3 \pm 5}{4}$.

$x_3 = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_4 = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Ответ: $x \in \{ 1, -1, \frac{1}{2}, -2 \}$.