Номер 5.70, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 5.70 – 5.74 решите уравнения методом разложения на множители.

5. 70.

1) $x^3 - 3x - 2 = 0;$ 2) $x^3 - 19x - 30 = 0;$

3) $2x^3 - x^2 - 1 = 0;$ 4) $x^3 + x - 2 = 0.$

1) $x^3 - 3x - 2 = 0$

Для разложения многочлена на множители найдем один из его корней. Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни следует искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = -1$ в уравнение: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 3x - 2$ делится на $(x+1)$.

Выполним разложение на множители методом группировки, добавляя и вычитая $x^2$:

$x^3 + x^2 - x^2 - 3x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+1) - (x^2 + 3x + 2) = 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$:

$x^2(x+1) - (x+1)(x+2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2 - (x+2)) = 0$

$(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x+1 = 0 \implies x_1 = -1$.

2) $x^2 - x - 2 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $(x-2)(x+1)=0$. Отсюда получаем корни $x_2 = 2$ и $x_3 = -1$.

Таким образом, уравнение имеет два различных корня: -1 (кратности 2) и 2.

Ответ: $x = -1, x = 2$.

2) $x^3 - 19x - 30 = 0$

Найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена -30 (например, $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, ...$).

Подставим $x = -2$: $(-2)^3 - 19(-2) - 30 = -8 + 38 - 30 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем. Следовательно, многочлен делится на $(x+2)$.

Выполним разложение на множители методом группировки:

$x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 19x - 30 = 0$

$x^2(x+2) - (2x^2 + 19x + 30) = 0$

Разделим многочлен $x^3 - 19x - 30$ на $(x+2)$ "уголком" или сгруппируем иначе:

$x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x - 15x - 30 = 0$

$x^2(x+2) - 2x(x+2) - 15(x+2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+2)$:

$(x+2)(x^2 - 2x - 15) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x+2 = 0 \implies x_1 = -2$.

2) $x^2 - 2x - 15 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x_2 = 5$ и $x_3 = -3$.

Уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $x = -3, x = -2, x = 5$.

3) $2x^3 - x^2 - 1 = 0$

Возможные рациональные корни уравнения ищем среди чисел $\pm1, \pm1/2$.

Подставим $x = 1$: $2(1)^3 - (1)^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем, и многочлен делится на $(x-1)$.

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

$2x^3 - 2x^2 + x^2 - 1 = 0$

$2x^2(x-1) + (x^2-1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ко второму слагаемому:

$2x^2(x-1) + (x-1)(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x-1)(2x^2 + x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2) $2x^2 + x + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = 1$.

4) $x^3 + x - 2 = 0$

Найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена -2: $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = 1$: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем, и многочлен делится на $(x-1)$.

Представим свободный член -2 как $-1-1$ и сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 1) + (x - 1) = 0$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к первому слагаемому:

$(x-1)(x^2+x+1) + (x-1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$:

$(x-1)((x^2+x+1) + 1) = 0$

$(x-1)(x^2 + x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = 1$.