Номер 5.74, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.74. 1) $x^3 + 2003x + 2004 = 0$; 2) $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$;

3) $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$; 4) $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$.

1) Исходное уравнение: $x^3 + 2003x + 2004 = 0$.

Для решения кубических уравнений с целыми коэффициентами можно применить теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональный корень, то он является делителем свободного члена (в данном случае 2004). Проверим простейшие целые делители: $\pm1, \pm2, ...$.

Подставим $x = -1$ в уравнение:

$(-1)^3 + 2003(-1) + 2004 = -1 - 2003 + 2004 = -2004 + 2004 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x = -1$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 2003x + 2004$ делится на двучлен $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$, без остатка.

Выполним деление многочлена $x^3 + 2003x + 2004$ на $(x+1)$, например, столбиком или по схеме Горнера. В результате деления получаем квадратный трехчлен $x^2 - x + 2004$.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x+1)(x^2 - x + 2004) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$.

2. $x^2 - x + 2004 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2004 = 1 - 8016 = -8015$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $x = -1$.

2) Исходное уравнение: $x^3 + 4x^2 - 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни являются делителями свободного члена, равного -5. Делители числа -5: $\pm1, \pm5$.

Проверим $x = 1$:

$1^3 + 4(1)^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.

Значит, $x = 1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 4x^2 - 5$ на $(x-1)$.

В результате деления получаем $x^2 + 5x + 5$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1)(x^2 + 5x + 5) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $x^2 + 5x + 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$.

3) Исходное уравнение: $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$.

Возможные рациональные корни — это делители свободного члена 2, то есть $\pm1, \pm2$.

Проверим $x = 1$:

$1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Корень $x = 1$ найден. Разделим многочлен $x^3 - 3x^2 + 2$ на $(x-1)$.

Результат деления: $x^2 - 2x - 2$.

Уравнение можно записать как:

$(x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $x^2 - 2x - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни квадратного уравнения:

$x_{2,3} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 1 + \sqrt{3}$, $x_3 = 1 - \sqrt{3}$.

4) Исходное уравнение: $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$.

Возможные рациональные корни — это делители свободного члена 8: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.

Проверим $x = 1$:

$1^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$.

$x = 1$ является корнем. Разделим многочлен $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ на $(x-1)$.

Получим в частном $x^2 - 2x - 8$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1)(x^2 - 2x - 8) = 0$.

Приравниваем множители к нулю:

1. $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -8, а сумма равна 2. Это числа 4 и -2.

Значит, $x_2 = 4$ и $x_3 = -2$.

Можно также решить через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.

$x_{2,3} = \frac{2 \pm 6}{2}$.

$x_2 = \frac{2+6}{2} = 4$, $x_3 = \frac{2-6}{2} = -2$.

Исходное уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$, $x_3 = -2$.