Номер 5.71, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.71. 1) $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$;

2) $3x^3 + 5x^2 + 5x + 3 = 0$;

3) $x^3 - x^2 - 81x + 81 = 0$;

4) $x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0$.

1) Решим уравнение $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + x^2) + (-4x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 4) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; -1; 2$.

2) Решим уравнение $3x^3 + 5x^2 + 5x + 3 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(3x^3 + 3) + (5x^2 + 5x) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3(x^3 + 1) + 5x(x + 1) = 0$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для выражения $(x^3+1)$:

$3(x+1)(x^2-x+1) + 5x(x+1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)[3(x^2-x+1) + 5x] = 0$

Раскроем скобки во втором множителе и упростим выражение:

$(x+1)(3x^2 - 3x + 3 + 5x) = 0$

$(x+1)(3x^2 + 2x + 3) = 0$

Теперь рассмотрим два случая:

1. $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2. $3x^2 + 2x + 3 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $-1$.

3) Решим уравнение $x^3 - x^2 - 81x + 81 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - x^2) + (-81x + 81) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) - 81(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 - 81) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 81)$ является разностью квадратов:

$(x - 1)(x - 9)(x + 9) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x - 9 = 0 \implies x_2 = 9$

$x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-9; 1; 9$.

4) Решим уравнение $x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (-16x - 48) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 16(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 16) = 0$

Второй множитель $(x^2 - 16)$ является разностью квадратов:

$(x + 3)(x - 4)(x + 4) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

$x + 4 = 0 \implies x_3 = -4$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-4; -3; 4$.