Номер 5.72, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.72. 1) $x^4 - 2x^3 - x - 2 = 0;$

2) $x^4 - 3x^3 + x - 3 = 0;$

3) $2x^4 + 3x^3 + 16x + 24 = 0;$

4) $24x^4 + 16x^3 - 3x - 2 = 0.$

1) $x^4 - 2x^3 - x - 2 = 0$
Примечание: В условии этого пункта, вероятно, допущена опечатка, так как в исходном виде уравнение не решается стандартными школьными методами в отличие от остальных пунктов. Наиболее вероятный исправленный вариант, соответствующий общей структуре заданий, — это $x^4 - 2x^3 + x - 2 = 0$. Ниже приведено его решение.
Рассмотрим уравнение $x^4 - 2x^3 + x - 2 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 2x^3) + (x - 2) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(x - 2) + 1(x - 2) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(x - 2)$: $(x - 2)(x^3 + 1) = 0$.
Разложим второй множитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$(x - 2)(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.
2. $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
3. $x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: $-1; 2$.

2) $x^4 - 3x^3 + x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - 3x^3) + (x - 3) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(x - 3) + 1(x - 3) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(x - 3)$: $(x - 3)(x^3 + 1) = 0$.
Разложим $x^3 + 1$ по формуле суммы кубов: $(x - 3)(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.
2. $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
3. $x^2 - x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-1; 3$.

3) $2x^4 + 3x^3 + 16x + 24 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(2x^4 + 3x^3) + (16x + 24) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(2x + 3) + 8(2x + 3) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(2x + 3)$: $(2x + 3)(x^3 + 8) = 0$.
Разложим $x^3 + 8$ по формуле суммы кубов: $(2x + 3)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_1 = -{3 \over 2}$.
2. $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$.
3. $x^2 - 2x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-2; -1.5$.

4) $24x^4 + 16x^3 - 3x - 2 = 0$
Сгруппируем слагаемые: $(24x^4 + 16x^3) - (3x + 2) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $8x^3(3x + 2) - 1(3x + 2) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $(3x + 2)$: $(3x + 2)(8x^3 - 1) = 0$.
Разложим $8x^3 - 1$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(3x + 2)((2x)^3 - 1^3) = (3x + 2)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. $3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_1 = -{2 \over 3}$.
2. $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = {1 \over 2}$.
3. $4x^2 + 2x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-{2 \over 3}; {1 \over 2}$.