Номер 5.75, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 5.75 – 5.77 решите уравнения методом разложения на множители.

5. 75.

1) $3x^4 + 7x^3 + 7x + 3 = 0;$

2) $2x^4 - 9x^3 + 9x + 2 = 0;$

3) $x^4 + 1 = 2(1 + x)^4;$

4) $(1 + x^2)^2 = 2x(1 - x^2).$

1) Исходное уравнение: $3x^4 + 7x^3 + 7x + 3 = 0$.
Это возвратное уравнение, но не в стандартной форме, так как член с $x^2$ отсутствует. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $3 \ne 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:
$3x^2 + 7x + \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2} = 0$
Сгруппируем члены:
$(3x^2 + \frac{3}{x^2}) + (7x + \frac{7}{x}) = 0$
$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 7(x + \frac{1}{x}) = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.
Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим это в наше уравнение:
$3(y^2 - 2) + 7y = 0$
$3y^2 - 6 + 7y = 0$
$3y^2 + 7y - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
Корни для $y$:
$y_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$y_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Теперь вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = -3$.
$x + \frac{1}{x} = -3$
$x^2 + 1 = -3x$
$x^2 + 3x + 1 = 0$
$D_x = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$
Случай 2: $y = \frac{2}{3}$.
$x + \frac{1}{x} = \frac{2}{3}$
$3x^2 + 3 = 2x$
$3x^2 - 2x + 3 = 0$
$D_x = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32 < 0$. В этом случае действительных корней нет.
Разложение на множители исходного многочлена имеет вид $(x^2 + 3x + 1)(3x^2 - 2x + 3) = 0$.
Ответ: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) Исходное уравнение: $2x^4 - 9x^3 + 9x + 2 = 0$.
Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:
$2x^2 - 9x + \frac{9}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$
Сгруппируем члены:
$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 9(x - \frac{1}{x}) = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{1}{x}$.
Тогда $y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
Подставим в уравнение:
$2(y^2 + 2) - 9y = 0$
$2y^2 + 4 - 9y = 0$
$2y^2 - 9y + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$
$y_1 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$
Вернемся к $x$.
Случай 1: $y = \frac{1}{2}$.
$x - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$
$2x^2 - 2 = x$
$2x^2 - x - 2 = 0$
$D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$
Случай 2: $y = 4$.
$x - \frac{1}{x} = 4$
$x^2 - 1 = 4x$
$x^2 - 4x - 1 = 0$
$D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
Разложение на множители: $(2x^2 - x - 2)(x^2 - 4x - 1) = 0$.
Ответ: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}, x_3 = 2 + \sqrt{5}, x_4 = 2 - \sqrt{5}$.

3) Исходное уравнение: $x^4 + 1 = 2(1 + x)^4$.
Раскроем скобки в правой части по формуле бинома Ньютона:
$x^4 + 1 = 2(1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4)$
$x^4 + 1 = 2 + 8x + 12x^2 + 8x^3 + 2x^4$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 8x + 1 = 0$
Это возвратное уравнение. $x=0$ не корень. Делим на $x^2$:
$x^2 + 8x + 12 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 8(x + \frac{1}{x}) + 12 = 0$
Пусть $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$(y^2 - 2) + 8y + 12 = 0$
$y^2 + 8y + 10 = 0$
$D_y = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 64 - 40 = 24$
$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -4 \pm \sqrt{6}$
Вернемся к $x$.
Случай 1: $y = -4 + \sqrt{6}$.
$x + \frac{1}{x} = -4 + \sqrt{6} \implies x^2 - (-4 + \sqrt{6})x + 1 = 0 \implies x^2 + (4 - \sqrt{6})x + 1 = 0$.
$D_x = (4 - \sqrt{6})^2 - 4 = 16 - 8\sqrt{6} + 6 - 4 = 18 - 8\sqrt{6}$. Так как $(8\sqrt{6})^2=384$ и $18^2=324$, то $8\sqrt{6} > 18$, следовательно $D_x < 0$. Действительных корней нет.
Случай 2: $y = -4 - \sqrt{6}$.
$x + \frac{1}{x} = -4 - \sqrt{6} \implies x^2 - (-4 - \sqrt{6})x + 1 = 0 \implies x^2 + (4 + \sqrt{6})x + 1 = 0$.
$D_x = (4 + \sqrt{6})^2 - 4 = 16 + 8\sqrt{6} + 6 - 4 = 18 + 8\sqrt{6} > 0$.
$x_{1,2} = \frac{-(4 + \sqrt{6}) \pm \sqrt{18 + 8\sqrt{6}}}{2}$
Разложение на множители: $(x^2 + (4 + \sqrt{6})x + 1)(x^2 + (4 - \sqrt{6})x + 1) = 0$.
Ответ: $x = \frac{-4 - \sqrt{6} \pm \sqrt{18 + 8\sqrt{6}}}{2}$.

4) Исходное уравнение: $(1 + x^2)^2 = 2x(1 - x^2)$.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$1 + 2x^2 + x^4 = 2x - 2x^3$
$x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является квазивозвратным. $x=0$ не является корнем. Разделим на $x^2$:
$x^2 + 2x + 2 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Сгруппируем:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x - \frac{1}{x}) + 2 = 0$
Сделаем замену $y = x - \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.
$(y^2 + 2) + 2y + 2 = 0$
$y^2 + 2y + 4 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно $y$:
$D_y = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$
Так как дискриминант отрицательный ($D_y < 0$), уравнение для $y$ не имеет действительных решений.
Поскольку для любого действительного $x \neq 0$ величина $y = x - \frac{1}{x}$ является действительным числом, отсутствие действительных решений для $y$ означает, что и исходное уравнение не имеет действительных решений для $x$.
Можно также отметить, что $y^2 + 2y + 4 = (y+1)^2 + 3 \ge 3$, то есть левая часть уравнения никогда не обращается в ноль.
Ответ: действительных корней нет.