Номер 5.77, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.77. 1) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$;

2) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0$;

1) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$

Это уравнение является обобщенным возвратным уравнением. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как свободный член $4 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 + 2x - 11 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) + (2x + \frac{4}{x}) - 11 = 0$

$(x^2 + \frac{4}{x^2}) + 2(x + \frac{2}{x}) - 11 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{2}{x}$.

Тогда $y^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 - 4$.

Подставим в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 4) + 2y - 11 = 0$

$y^2 + 2y - 15 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета корни $y_1 = -5$ и $y_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 3$.

$x + \frac{2}{x} = 3$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 2 = 3x$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Случай 2: $y = -5$.

$x + \frac{2}{x} = -5$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 2 = -5x$

$x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$

$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $1; 2; \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$.

2) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0$

Это также обобщенное возвратное уравнение. Так как $x=0$ не является корнем (свободный член $16 \neq 0$), разделим обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 - 2x - 23 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) - (2x - \frac{8}{x}) - 23 = 0$

$(x^2 + \frac{16}{x^2}) - 2(x - \frac{4}{x}) - 23 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{4}{x}$.

Тогда $y^2 = (x - \frac{4}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{16}{x^2} = y^2 + 8$.

Подставим в сгруппированное уравнение:

$(y^2 + 8) - 2y - 23 = 0$

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его. По теореме Виета корни $y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 5$.

$x - \frac{4}{x} = 5$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 - 4 = 5x$

$x^2 - 5x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Случай 2: $y = -3$.

$x - \frac{4}{x} = -3$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 - 4 = -3x$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Корни этого уравнения (по теореме Виета) $x_3 = 1$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $1; -4; \frac{5 - \sqrt{41}}{2}; \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$.