gdz.top
Номер 5.62, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 5. Многочлены. 5.4. Формула Виета - номер 5.62, страница 151.
№5.61
№5.62 (с. 151)
Учебник рус. №5.62 (с. 151)
5.62. Докажите, что для корней $x_1, x_2, x_3$ многочлена $x^3 + px + q$ выполняется равенство $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$.
Учебник кз. №5.62 (с. 151)
Решение. №5.62 (с. 151)
Решение 2 (rus). №5.62 (с. 151)
Пусть $x_1, x_2, x_3$ являются корнями многочлена $x^3 + px + q$. Это означает, что для каждого из этих корней при подстановке в многочлен мы получаем ноль. Запишем это в виде системы уравнений:
$x_1^3 + px_1 + q = 0$
$x_2^3 + px_2 + q = 0$
$x_3^3 + px_3 + q = 0$
Сложим эти три равенства:
$(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3) + p(x_1 + x_2 + x_3) + 3q = 0$
Теперь применим формулы Виета для кубического уравнения вида $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$. В нашем случае многочлен $x^3 + px + q$ можно записать как $x^3 + 0 \cdot x^2 + px + q = 0$.
Согласно формулам Виета:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -0/1 = 0$.
2. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = p/1 = p$.
3. Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -q/1 = -q$.
Подставим полученное значение суммы корней ($x_1 + x_2 + x_3 = 0$) в сложенное нами уравнение:
$(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3) + p \cdot 0 + 3q = 0$
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3q = 0$
Выразим сумму кубов корней:
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3q$
Из третьей формулы Виета мы знаем, что $x_1x_2x_3 = -q$, откуда следует, что $q = -x_1x_2x_3$. Подставим это выражение для $q$ в наше последнее равенство:
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3(-x_1x_2x_3)$
$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$
Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1x_2x_3$ для корней многочлена $x^3 + px + q$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5.62 расположенного на странице 151 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.62 (с. 151), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.