Номер 6.1, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.1. Докажите равенство, используя определение предела функции в точке:

1) $\lim_{x\to 2} (2x+1) = 5$;

2) $\lim_{x\to 1} (4x-3) = 1$;

3) $\lim_{x\to -1} (2x^2+5) = 7$;

4) $\lim_{x\to 2} (x^2-5) = -1$;

5) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4$;

6) $\lim_{x\to 1.5} \frac{4x^2-9}{2x-3} = 6$.

Для доказательства равенств будем использовать определение предела функции в точке (определение Коши). Число $L$ является пределом функции $f(x)$ при $x \to a$, если для любого положительного числа $\epsilon$ ($\epsilon > 0$) найдется такое положительное число $\delta$ ($\delta > 0$), что для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \epsilon$.

1) $\lim_{x\to2} (2x + 1) = 5$

Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $0 < |x - 2| < \delta$, то $|(2x + 1) - 5| < \epsilon$. Рассмотрим неравенство с $\epsilon$: $|(2x + 1) - 5| < \epsilon$ $|2x - 4| < \epsilon$ $|2(x - 2)| < \epsilon$ $2|x - 2| < \epsilon$ $|x - 2| < \frac{\epsilon}{2}$ Мы видим, что если выбрать $\delta = \frac{\epsilon}{2}$, то условие определения предела будет выполняться. Действительно, пусть задано произвольное $\epsilon > 0$. Возьмем $\delta = \frac{\epsilon}{2}$. Тогда для любого $x$, такого что $0 < |x - 2| < \delta$, имеем: $|x - 2| < \frac{\epsilon}{2}$ $2|x - 2| < \epsilon$ $|2x - 4| < \epsilon$ $|(2x + 1) - 5| < \epsilon$ Таким образом, равенство доказано по определению.

Ответ: Равенство доказано.

2) $\lim_{x\to1} (4x - 3) = 1$

Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $0 < |x - 1| < \delta$, то $|(4x - 3) - 1| < \epsilon$. Рассмотрим неравенство с $\epsilon$: $|(4x - 3) - 1| < \epsilon$ $|4x - 4| < \epsilon$ $|4(x - 1)| < \epsilon$ $4|x - 1| < \epsilon$ $|x - 1| < \frac{\epsilon}{4}$ Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{4}$. Проверим: пусть задано произвольное $\epsilon > 0$ и $\delta = \frac{\epsilon}{4}$. Тогда для любого $x$, такого что $0 < |x - 1| < \delta$, имеем: $|x - 1| < \frac{\epsilon}{4}$ $4|x - 1| < \epsilon$ $|4x - 4| < \epsilon$ $|(4x - 3) - 1| < \epsilon$ Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

3) $\lim_{x\to-1} (2x^2 + 5) = 7$

Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $0 < |x - (-1)| < \delta$ (т.е. $0 < |x + 1| < \delta$), то $|(2x^2 + 5) - 7| < \epsilon$. Рассмотрим неравенство: $|(2x^2 + 5) - 7| < \epsilon$ $|2x^2 - 2| < \epsilon$ $|2(x^2 - 1)| < \epsilon$ $2|x - 1||x + 1| < \epsilon$ Нам нужно оценить $|x - 1|$. Поскольку нас интересует поведение $x$ вблизи $-1$, мы можем ограничить $\delta$, например, положив $\delta \le 1$. Если $|x + 1| < 1$, то $-1 < x + 1 < 1$, что означает $-2 < x < 0$. Для таких $x$ имеем $-3 < x - 1 < -1$, откуда следует, что $|x - 1| < 3$. Тогда наше неравенство можно усилить: $2|x - 1||x + 1| < 2 \cdot 3 \cdot |x + 1| = 6|x + 1|$. Теперь потребуем, чтобы $6|x + 1| < \epsilon$, откуда $|x + 1| < \frac{\epsilon}{6}$. Итак, мы получили два условия на $\delta$: $\delta \le 1$ и $\delta \le \frac{\epsilon}{6}$. Чтобы удовлетворить обоим, выберем $\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{6})$. Для любого $\epsilon > 0$ такое $\delta$ существует. Если $0 < |x + 1| < \delta$, то $|x+1| < 1$ (значит $|x-1|<3$) и $|x+1| < \frac{\epsilon}{6}$. Следовательно, $|(2x^2 + 5) - 7| = 2|x - 1||x + 1| < 2 \cdot 3 \cdot |x + 1| = 6|x + 1| < 6 \cdot \frac{\epsilon}{6} = \epsilon$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

4) $\lim_{x\to2} (x^2 - 5) = -1$

Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $0 < |x - 2| < \delta$, то $|(x^2 - 5) - (-1)| < \epsilon$. Рассмотрим неравенство: $|(x^2 - 5) - (-1)| < \epsilon$ $|x^2 - 4| < \epsilon$ $|x - 2||x + 2| < \epsilon$ Оценим $|x + 2|$. Пусть $\delta \le 1$. Тогда из $|x - 2| < 1$ следует, что $-1 < x - 2 < 1$, т.е. $1 < x < 3$. Для таких $x$ имеем $3 < x + 2 < 5$, откуда $|x + 2| < 5$. Тогда $|x - 2||x + 2| < 5|x - 2|$. Потребуем, чтобы $5|x - 2| < \epsilon$, откуда $|x - 2| < \frac{\epsilon}{5}$. Выберем $\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{5})$. Для любого $\epsilon > 0$ такое $\delta$ существует. Если $0 < |x - 2| < \delta$, то $|x-2| < 1$ (значит $|x+2|<5$) и $|x-2| < \frac{\epsilon}{5}$. Следовательно, $|(x^2 - 5) - (-1)| = |x - 2||x + 2| < 5|x - 2| < 5 \cdot \frac{\epsilon}{5} = \epsilon$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

5) $\lim_{x\to2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$

Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $0 < |x - 2| < \delta$, то $|\frac{x^2 - 4}{x - 2} - 4| < \epsilon$. Заметим, что область определения функции $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ это все $x \neq 2$. Условие $0 < |x - 2|$ в определении предела как раз гарантирует, что $x \neq 2$. При $x \neq 2$ мы можем упростить выражение: $|\frac{x^2 - 4}{x - 2} - 4| = |\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} - 4| = |(x+2) - 4| = |x - 2|$. Таким образом, нам нужно, чтобы выполнялось неравенство $|x - 2| < \epsilon$. Достаточно выбрать $\delta = \epsilon$. Тогда для любого $\epsilon > 0$, если мы возьмем $\delta = \epsilon$, то для всех $x$ из $0 < |x - 2| < \delta$ будет следовать $|\frac{x^2 - 4}{x - 2} - 4| = |x - 2| < \delta = \epsilon$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

6) $\lim_{x\to1,5} \frac{4x^2 - 9}{2x - 3} = 6$

Нам нужно доказать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что если $0 < |x - 1.5| < \delta$, то $|\frac{4x^2 - 9}{2x - 3} - 6| < \epsilon$. Функция не определена в точке $x = 1.5$. Условие $0 < |x - 1.5|$ гарантирует, что $x \neq 1.5$. При $x \neq 1.5$ упростим выражение: $|\frac{4x^2 - 9}{2x - 3} - 6| = |\frac{(2x-3)(2x+3)}{2x-3} - 6| = |(2x+3) - 6| = |2x - 3| = |2(x - 1.5)| = 2|x - 1.5|$. Мы хотим, чтобы выполнялось $2|x - 1.5| < \epsilon$, что равносильно $|x - 1.5| < \frac{\epsilon}{2}$. Выберем $\delta = \frac{\epsilon}{2}$. Для любого $\epsilon > 0$ такое $\delta$ существует. Если $0 < |x - 1.5| < \delta$, то: $|\frac{4x^2 - 9}{2x - 3} - 6| = 2|x - 1.5| < 2\delta = 2 \cdot \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.