Номер 6.6, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.6. Для заданной функции $y = f(x)$ найдите значения односторонних пределов $f(a - 0)$, $f(a + 0)$ в указанной точке $x = a$ и сравните их со значением $f(a)$:

1) $f(x) = x^2 - 3x + 1$, $a = 1$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $a = -3$.

1) Для функции $f(x) = x^2 - 3x + 1$ и точки $a = 1$.

Сначала найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.

Теперь найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 слева, то есть $x \to 1-0$):

$f(1-0) = \lim_{x \to 1-0} (x^2 - 3x + 1)$.

Так как данная функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой. Для непрерывных функций предел в точке равен значению функции в этой точке. Поэтому мы можем просто подставить значение $x=1$ в функцию:

$f(1-0) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1$.

Правосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 справа, то есть $x \to 1+0$):

$f(1+0) = \lim_{x \to 1+0} (x^2 - 3x + 1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1$.

Сравнивая значения, получаем: $f(1-0) = f(1+0) = f(1) = -1$. Это подтверждает, что функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: $f(1-0) = -1$, $f(1+0) = -1$, $f(1) = -1$. Все три значения равны.

2) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x+3}$ и точки $a = -3$.

Сначала попробуем найти значение функции в точке $a=-3$:

$f(-3) = \frac{(-3)^2 - 9}{-3+3} = \frac{9-9}{0} = \frac{0}{0}$.

Получилась неопределенность. Это означает, что функция в точке $x=-3$ не определена, так как происходит деление на ноль.

Теперь найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел (когда $x \to -3-0$):

$f(-3-0) = \lim_{x \to -3-0} \frac{x^2 - 9}{x+3}$.

Чтобы раскрыть неопределенность, упростим выражение, разложив числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{x^2 - 9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.

Поскольку при вычислении предела мы рассматриваем значения $x$, близкие к $-3$, но не равные $-3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$\lim_{x \to -3-0} (x-3) = -3 - 3 = -6$.

Правосторонний предел (когда $x \to -3+0$):

$f(-3+0) = \lim_{x \to -3+0} \frac{x^2 - 9}{x+3} = \lim_{x \to -3+0} (x-3) = -3 - 3 = -6$.

Сравнивая значения, получаем: $f(-3-0) = -6$ и $f(-3+0) = -6$. Односторонние пределы существуют и равны друг другу. Однако значение функции $f(-3)$ не определено. Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Ответ: $f(-3-0) = -6$, $f(-3+0) = -6$, а значение $f(-3)$ не определено. Односторонние пределы равны между собой, но не равны значению функции в точке, так как оно не существует.