Номер 6.11, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 6.11–6.19 найдите пределы.

6.11. 1)

$lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6};$

2) $lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 4};$

3) $lim_{x\to -2} \frac{3x^2 + 5x - 2}{5x^2 + 12x + 4};$

4) $lim_{x\to 0.5} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 15x + 7.25}.$

1) $\lim_{x\to3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6}$

При подстановке $x=3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3^2 - 2 \cdot 3 - 3}{3^2 - 5 \cdot 3 + 6} = \frac{9 - 6 - 3}{9 - 15 + 6} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни соответствующих квадратных трехчленов.

Для числителя $x^2 - 2x - 3$: корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ это $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.

Для знаменателя $x^2 - 5x + 6$: корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ это $x_1 = 3$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x-3)(x-2)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-2)}$

Поскольку $x \to 3$, то $x \neq 3$, поэтому мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$\lim_{x\to3} \frac{x+1}{x-2} = \frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4.

2) $\lim_{x\to1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 4}$

При подстановке $x=1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1^2 - 5 \cdot 1 + 4} = \frac{1 - 3 + 2}{1 - 5 + 4} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $x^2 - 3x + 2$: корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Для знаменателя $x^2 - 5x + 4$: корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to1} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-4)}$

Сократим дробь на $(x-1)$:

$\lim_{x\to1} \frac{x-2}{x-4} = \frac{1-2}{1-4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) $\lim_{x\to-2} \frac{3x^2 + 5x - 2}{5x^2 + 12x + 4}$

При подстановке $x=-2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3(-2)^2 + 5(-2) - 2}{5(-2)^2 + 12(-2) + 4} = \frac{3 \cdot 4 - 10 - 2}{5 \cdot 4 - 24 + 4} = \frac{12 - 12}{24 - 24} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $3x^2 + 5x - 2$: корни уравнения $3x^2 + 5x - 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{1}{3}$. Таким образом, $3x^2 + 5x - 2 = 3(x+2)(x-\frac{1}{3}) = (x+2)(3x-1)$.

Для знаменателя $5x^2 + 12x + 4$: корни уравнения $5x^2 + 12x + 4 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = -\frac{2}{5}$. Таким образом, $5x^2 + 12x + 4 = 5(x+2)(x+\frac{2}{5}) = (x+2)(5x+2)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to-2} \frac{(x+2)(3x-1)}{(x+2)(5x+2)}$

Сократим дробь на $(x+2)$:

$\lim_{x\to-2} \frac{3x-1}{5x+2} = \frac{3(-2)-1}{5(-2)+2} = \frac{-6-1}{-10+2} = \frac{-7}{-8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

4) $\lim_{x\to0.5} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 15x + 7.25}$

При подстановке $x=0.5$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{2(0.5)^2 + 5(0.5) - 3}{(0.5)^2 - 15(0.5) + 7.25} = \frac{2 \cdot 0.25 + 2.5 - 3}{0.25 - 7.5 + 7.25} = \frac{0.5 + 2.5 - 3}{7.5 - 7.5} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $2x^2 + 5x - 3$: корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$ это $x_1 = 0.5$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $2x^2 + 5x - 3 = 2(x-0.5)(x+3)$.

Для знаменателя $x^2 - 15x + 7.25$: корни уравнения $x^2 - 15x + 7.25 = 0$ это $x_1 = 0.5$ и $x_2 = 14.5$. Таким образом, $x^2 - 15x + 7.25 = (x-0.5)(x-14.5)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to0.5} \frac{2(x-0.5)(x+3)}{(x-0.5)(x-14.5)}$

Сократим дробь на $(x-0.5)$:

$\lim_{x\to0.5} \frac{2(x+3)}{x-14.5} = \frac{2(0.5+3)}{0.5-14.5} = \frac{2 \cdot 3.5}{-14} = \frac{7}{-14} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.