Номер 6.9, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.9. Найдите вертикальные и наклонные асимптоты функции:

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x+1}$.

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

Вертикальные асимптоты.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция не определена в точке $x=0$. Это точка разрыва.
Найдем односторонние пределы функции при приближении к этой точке:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (-\infty) = -\infty$
Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Ищем наклонную асимптоту в виде прямой $y = kx + b$. Коэффициенты $k$ и $b$ находятся по формулам:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$
Найдем коэффициент $k$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1 + 0 = 1$
Теперь найдем коэффициент $b$:
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты $y = 1 \cdot x + 0$, то есть $y=x$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1}$

Вертикальные асимптоты.
Функция не определена при $x+1=0$, то есть в точке $x=-1$. Это точка разрыва.
Найдем односторонние пределы. При $x \to -1$, числитель $x^2 - x + 2 \to (-1)^2 - (-1) + 2 = 4$.
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} = \frac{4}{0^+} = +\infty$
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} = \frac{4}{0^-} = -\infty$
Поскольку пределы бесконечны, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Ищем наклонную асимптоту в виде $y = kx + b$.
Найдем коэффициент $k$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x + 2}{x(x+1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 + x}$
Разделим числитель и знаменатель на $x^2$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1-0+0}{1+0} = 1$
Найдем коэффициент $b$:
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2-x+2}{x+1} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-x+2-x(x+1)}{x+1}$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-x+2-x^2-x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x+2}{x+1}$
Разделим числитель и знаменатель на $x$:
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{-2+0}{1+0} = -2$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = 1 \cdot x - 2$, то есть $y=x-2$.
Альтернативный способ: Выделим целую часть дроби с помощью деления многочленов столбиком:
$f(x) = \frac{x^2-x+2}{x+1} = x - 2 + \frac{4}{x+1}$.
Поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x+1} = 0$, то функция $f(x)$ стремится к $x-2$. Таким образом, $y=x-2$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-1$, наклонная асимптота $y=x-2$.