Номер 6.13, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.13. 1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$;

2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$;

3) $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x^3 - 8}$;

4) $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$.

1) Найдем предел $\lim_{x\to-1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$.

При подстановке $x = -1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $(-1)^3 + 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$.

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1)$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в предел:

$\lim_{x\to-1} \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}$

Поскольку $x \to -1$, но $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+1)$:

$\lim_{x\to-1} (x^2 - x + 1)$

Теперь можно подставить значение $x = -1$ в полученное выражение, так как неопределенность устранена:

$(-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3

2) Найдем предел $\lim_{x\to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$.

При подстановке $x = 2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $2^3 - 8 = 0$ и $2 - 2 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель на множители по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как $x \neq 2$:

$\lim_{x\to 2} (x^2 + 2x + 4)$

Подставим значение $x = 2$ в непрерывную функцию:

$2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: 12

3) Найдем предел $\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x^3 - 8}$.

В данном случае неопределенности нет. Проверим значения числителя и знаменателя при $x=8$.

Числитель: $\sqrt[3]{8} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Знаменатель: $8^3 - 8 = 512 - 8 = 504$.

Так как функция непрерывна в точке $x=8$ и знаменатель не равен нулю, предел равен значению функции в этой точке. Мы можем найти его прямой подстановкой.

$\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x^3 - 8} = \frac{\sqrt[3]{8} - 2}{8^3 - 8} = \frac{2-2}{512-8} = \frac{0}{504} = 0$.

Ответ: 0

4) Найдем предел $\lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$.

При подстановке $x = 1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1 - 1 = 0$ и $\sqrt[3]{1} - 1 = 0$.

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель на множители как разность кубов, представив $x$ как $(\sqrt[3]{x})^3$.

Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt[3]{x}$ и $b=1$.

$x - 1 = (\sqrt[3]{x})^3 - 1^3 = (\sqrt[3]{x} - 1)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{x} - 1)(x^{2/3} + x^{1/3} + 1)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1)(x^{2/3} + x^{1/3} + 1)}{\sqrt[3]{x} - 1}$

Сократим дробь на $(\sqrt[3]{x} - 1)$, так как $x \neq 1$:

$\lim_{x\to 1} (x^{2/3} + x^{1/3} + 1)$

Подставим значение $x = 1$ в полученное выражение:

$1^{2/3} + 1^{1/3} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3