Номер 6.18, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.18. 1) $ \lim_{x \to 0} \frac{\text{tg } 2x}{x}; $

2) $ \lim_{x \to 0} \frac{bx}{\text{tg } ax}; $

3) $ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 4x}{x}; $

4) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin 6x}{10x}. $

1) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{x}$ воспользуемся следствием из первого замечательного предела, которое гласит, что $\lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{tg} u}{u} = 1$.

Чтобы привести наш предел к этому виду, домножим и разделим выражение на 2:

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{2x} \cdot 2$

Поскольку $\lim_{x \to 0} 2x = 0$, мы можем сделать замену $u = 2x$. Тогда предел $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{2x}$ превращается в $\lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{tg} u}{u}$, который равен 1.

Таким образом, получаем:

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

Ответ: 2

2) Рассмотрим предел $\lim_{x \to 0} \frac{bx}{\operatorname{tg} ax}$. Здесь мы также имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$ (при $a \neq 0$).

Снова используем следствие из первого замечательного предела $\lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{tg} u}{u} = 1$. Чтобы его применить, преобразуем выражение. Разделим числитель и знаменатель на $x$ (что возможно, так как $x \to 0$, но $x \neq 0$), а затем умножим и разделим знаменатель на $a$:

$\lim_{x \to 0} \frac{bx}{\operatorname{tg} ax} = \lim_{x \to 0} \frac{b}{\frac{\operatorname{tg} ax}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{b}{\frac{\operatorname{tg} ax}{ax} \cdot a}$

Вынесем константы за знак предела:

$\frac{b}{a} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\operatorname{tg} ax}{ax}}$

Так как при $x \to 0$ выражение $ax \to 0$, то $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} ax}{ax} = 1$.

В итоге получаем:

$\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{1} = \frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$

3) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 4x}{x}$ разделим числитель почленно на знаменатель:

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{x} - \frac{\sin 4x}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \left( 1 - \frac{\sin 4x}{x} \right)$

Используя свойство предела разности, получаем:

$\lim_{x \to 0} 1 - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$

Первый предел равен 1. Для вычисления второго предела воспользуемся первым замечательным пределом $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$. Преобразуем выражение, домножив и разделив его на 4:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4$

Поскольку при $x \to 0$ выражение $4x \to 0$, то $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$.

Таким образом, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = 1 \cdot 4 = 4$.

Подставляем найденное значение в исходное выражение:

$1 - 4 = -3$

Ответ: -3

4) Рассмотрим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin 6x}{10x}$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Разделим выражение на два предела:

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 3x}{10x} - \frac{\sin 6x}{10x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{10x} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{10x}$

Вычислим каждый предел по отдельности, используя первый замечательный предел $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Для первого предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{10x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{10} = 1 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10}$

Для второго предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{10x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{6}{10} = 1 \cdot \frac{6}{10} = \frac{6}{10}$

Теперь вычтем второй результат из первого:

$\frac{3}{10} - \frac{6}{10} = -\frac{3}{10}$

Ответ: $-\frac{3}{10}$