Номер 6.24, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.24. Докажите, что для существования предела функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ необходимо и достаточно выполнение равенства $f(a - 0) = f(a + 0)$. Здесь функция $f(x)$ определена на множестве $[c; a) \cup (a; b]$.

Данное утверждение является критерием существования предела функции в точке. Доказательство состоит из двух частей: доказательства необходимости и доказательства достаточности.

Необходимость

Пусть предел функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ существует и равен некоторому числу $L$, то есть $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Докажем, что левый и правый пределы в этой точке также существуют и равны $L$, а значит, равны между собой.

По определению предела функции в точке (по Коши), для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ найдется такое положительное число $\delta$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Условие $0 < |x - a| < \delta$ эквивалентно объединению двух интервалов: $x \in (a - \delta, a) \cup (a, a + \delta)$.

Рассмотрим левый предел $f(a - 0) = \lim_{x \to a-0} f(x)$. По определению, мы рассматриваем значения $x$, приближающиеся к $a$ слева, то есть $x < a$. Если мы выберем $x$ из интервала $(a - \delta, a)$, то для этих $x$ условие $0 < |x - a| < \delta$ будет выполнено. Следовательно, для них будет выполняться и неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$. Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ нашлось такое $\delta > 0$, что для всех $x \in (a-\delta, a)$ верно $|f(x) - L| < \varepsilon$. По определению одностороннего предела, это означает, что $f(a - 0) = L$.

Аналогично рассмотрим правый предел $f(a + 0) = \lim_{x \to a+0} f(x)$. Мы рассматриваем значения $x$, приближающиеся к $a$ справа, то есть $x > a$. Если мы выберем $x$ из интервала $(a, a + \delta)$, то для этих $x$ условие $0 < |x - a| < \delta$ также будет выполнено. Следовательно, для них будет выполняться неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$. По определению одностороннего предела, это означает, что $f(a + 0) = L$.

Поскольку $f(a - 0) = L$ и $f(a + 0) = L$, мы заключаем, что $f(a - 0) = f(a + 0)$. Необходимость доказана.

Достаточность

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть левый и правый пределы функции в точке $x=a$ существуют и равны друг другу. Обозначим их общее значение буквой $L$: $f(a - 0) = f(a + 0) = L$.

По определению левого предела $\lim_{x \to a-0} f(x) = L$, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta_1 > 0$, что для всех $x$ из интервала $a - \delta_1 < x < a$ выполняется неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$.

По определению правого предела $\lim_{x \to a+0} f(x) = L$, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta_2 > 0$, что для всех $x$ из интервала $a < x < a + \delta_2$ выполняется неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Для заданного $\varepsilon > 0$ выберем $\delta$ как наименьшее из чисел $\delta_1$ и $\delta_2$, то есть $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Поскольку $\delta_1 > 0$ и $\delta_2 > 0$, то и $\delta > 0$.

Теперь рассмотрим любое $x$, удовлетворяющее условию $0 < |x - a| < \delta$. Это условие означает, что $x$ принадлежит либо интервалу $(a - \delta, a)$, либо интервалу $(a, a + \delta)$.

1. Если $a - \delta < x < a$, то, поскольку $\delta \le \delta_1$, тем более верно, что $a - \delta_1 < x < a$. Для таких $x$ по определению левого предела имеем $|f(x) - L| < \varepsilon$.

2. Если $a < x < a + \delta$, то, поскольку $\delta \le \delta_2$, тем более верно, что $a < x < a + \delta_2$. Для таких $x$ по определению правого предела имеем $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Таким образом, мы показали, что для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$. Это в точности соответствует определению предела функции в точке. Следовательно, $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Достаточность доказана.

Так как мы доказали и необходимость, и достаточность, то утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Существование предела функции в точке эквивалентно существованию и равенству ее односторонних пределов (слева и справа) в этой точке.