Номер 6.27, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.27. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$;

2) $g(x) = \sqrt{(x+3)(11-x)}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt{18x^2 - 3x - 1}}$ находится из условия, что выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, должно быть строго больше нуля. Это связано с двумя ограничениями: знаменатель дроби не может быть равен нулю, и подкоренное выражение для корня четной степени не может быть отрицательным.

Таким образом, необходимо решить следующее строгое неравенство:

$18x^2 - 3x - 1 > 0$

Для решения неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $18x^2 - 3x - 1 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-1) = 9 + 72 = 81$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 18} = \frac{3 \pm 9}{36}$.
$x_1 = \frac{3 - 9}{36} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{3 + 9}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Графиком функции $y=18x^2-3x-1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($18 > 0$). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает положительные значения за пределами своих корней.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Область определения функции $g(x) = \sqrt{(x+3)(11-x)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$(x+3)(11-x) \ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов.
Сначала найдем нули выражения, приравняв его к нулю: $(x+3)(11-x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x+3=0 \implies x_1 = -3$
$11-x=0 \implies x_2 = 11$

Отметим найденные точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак выражения $(x+3)(11-x)$ в каждом интервале. Если раскрыть скобки, получится $-x^2+8x+33$. Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями, включая сами корни.

Неравенство $(x+3)(11-x) \ge 0$ выполняется на отрезке $[-3; 11]$.

Ответ: $x \in [-3; 11]$.