Номер 6.32, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.32. Напишите первые пять членов последовательности натуральных чисел:

1) кратных 4;

2) кратных 3;

3) при делении которых на 5 в остатке получается 3;

4) кратных 3 и 5.

1) кратных 4
Последовательность натуральных чисел, кратных 4, представляет собой арифметическую прогрессию. Каждый следующий член этой последовательности получается путем прибавления 4 к предыдущему, а первый член равен 4. Общий член такой последовательности можно задать формулой $a_n = 4n$, где $n$ — номер члена последовательности ($n = 1, 2, 3, ...$).
Найдем первые пять членов этой последовательности:
Первый член ($n=1$): $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 4 \cdot 3 = 12$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 4 \cdot 4 = 16$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = 4 \cdot 5 = 20$
Ответ: 4, 8, 12, 16, 20.

2) кратных 3
Последовательность натуральных чисел, кратных 3, также является арифметической прогрессией. Ее первый член равен 3, а разность равна 3. Общий член этой последовательности задается формулой $a_n = 3n$, где $n \ge 1$.
Найдем первые пять членов:
Первый член ($n=1$): $a_1 = 3 \cdot 1 = 3$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 3 \cdot 2 = 6$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 3 \cdot 3 = 9$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 3 \cdot 4 = 12$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = 3 \cdot 5 = 15$
Ответ: 3, 6, 9, 12, 15.

3) при делении которых на 5 в остатке получается 3
Натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 3, можно описать общей формулой $a_k = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$). Мы ищем натуральные числа, поэтому начинаем с $k=0$.
Найдем первые пять таких чисел, подставляя последовательные значения $k$:
При $k=0$: $a_1 = 5 \cdot 0 + 3 = 3$
При $k=1$: $a_2 = 5 \cdot 1 + 3 = 8$
При $k=2$: $a_3 = 5 \cdot 2 + 3 = 13$
При $k=3$: $a_4 = 5 \cdot 3 + 3 = 18$
При $k=4$: $a_5 = 5 \cdot 4 + 3 = 23$
Ответ: 3, 8, 13, 18, 23.

4) кратных 3 и 5
Число, которое кратно и 3, и 5, должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 3 и 5 являются взаимно простыми числами, их НОК равно их произведению: НОК(3, 5) = $3 \cdot 5 = 15$.
Таким образом, нам нужно найти первые пять натуральных чисел, кратных 15. Общий член этой последовательности задается формулой $a_n = 15n$, где $n \ge 1$.
Найдем первые пять членов:
Первый член ($n=1$): $a_1 = 15 \cdot 1 = 15$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 15 \cdot 2 = 30$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 15 \cdot 3 = 45$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 15 \cdot 4 = 60$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = 15 \cdot 5 = 75$
Ответ: 15, 30, 45, 60, 75.