Номер 6.36, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.36. Напишите формулу общего члена последовательностей, заданных в задаче 6.32.

а) Последовательность натуральных чисел, кратных 3, представляет собой ряд чисел: 3, 6, 9, 12, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.

Первый член последовательности (при $n=1$): $a_1 = 3 = 3 \cdot 1$.

Второй член последовательности (при $n=2$): $a_2 = 6 = 3 \cdot 2$.

Третий член последовательности (при $n=3$): $a_3 = 9 = 3 \cdot 3$.

Из этого видно, что каждый член последовательности получается умножением его номера $n$ на 3. Таким образом, формула общего члена последовательности имеет вид $a_n = 3n$.

Ответ: $a_n = 3n$.

б) Последовательность натуральных чисел, кратных 5, представляет собой ряд чисел: 5, 10, 15, 20, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.

Первый член последовательности (при $n=1$): $a_1 = 5 = 5 \cdot 1$.

Второй член последовательности (при $n=2$): $a_2 = 10 = 5 \cdot 2$.

Третий член последовательности (при $n=3$): $a_3 = 15 = 5 \cdot 3$.

Каждый член этой последовательности равен его номеру $n$, умноженному на 5. Следовательно, формула общего члена последовательности: $a_n = 5n$.

Ответ: $a_n = 5n$.

в) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 1. Это означает, что каждый член последовательности $a_n$ можно представить в виде $a_n = 7k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число (частное от деления).

Найдем первые несколько членов последовательности, подставляя $k = 0, 1, 2, ...$:

Для $k=0$ (первый член, $n=1$): $a_1 = 7 \cdot 0 + 1 = 1$.

Для $k=1$ (второй член, $n=2$): $a_2 = 7 \cdot 1 + 1 = 8$.

Для $k=2$ (третий член, $n=3$): $a_3 = 7 \cdot 2 + 1 = 15$.

Полученная последовательность 1, 8, 15, ... является арифметической прогрессией. Её первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив значения $a_1$ и $d$, получим: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 7 = 1 + 7n - 7 = 7n - 6$.

Ответ: $a_n = 7n - 6$.

г) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Каждый член такой последовательности $a_n$ можно представить в виде $a_n = 4k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Найдем первые несколько членов последовательности, подставляя $k = 0, 1, 2, ...$:

Для $k=0$ (первый член, $n=1$): $a_1 = 4 \cdot 0 + 3 = 3$.

Для $k=1$ (второй член, $n=2$): $a_2 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$.

Для $k=2$ (третий член, $n=3$): $a_3 = 4 \cdot 2 + 3 = 11$.

Полученная последовательность 3, 7, 11, ... является арифметической прогрессией. Её первый член $a_1 = 3$, а разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4$.

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, получим:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.

Ответ: $a_n = 4n - 1$.