Номер 6.42, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.42. Последовательности $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ и $\{c_n\}$ заданы рекуррентными формулами $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 0.1 \cdot a_n + 14$; $b_1 = 5$, $b_{n+1} = b_n + 4$; $c_1 = 5$, $c_{n+1} = -3c_n$. Какая из этих последовательностей образует:

1) арифметическую прогрессию?

2) геометрическую прогрессию?

1) арифметическую прогрессию
Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). Рекуррентная формула для арифметической прогрессии имеет вид: $x_{n+1} = x_n + d$. Проверим каждую из заданных последовательностей.

Анализ последовательности {$a_n$}:
Последовательность задана формулами $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = 0.1 \cdot a_n + 14$.
Найдем разность между двумя последовательными членами: $a_{n+1} - a_n = (0.1 \cdot a_n + 14) - a_n = 14 - 0.9 \cdot a_n$.
Так как разность зависит от значения члена $a_n$, она не является постоянной. Например:
$a_1 = 1$
$a_2 = 0.1 \cdot 1 + 14 = 14.1$
$a_3 = 0.1 \cdot 14.1 + 14 = 1.41 + 14 = 15.41$
Разность $a_2 - a_1 = 14.1 - 1 = 13.1$.
Разность $a_3 - a_2 = 15.41 - 14.1 = 1.31$.
Поскольку $13.1 \neq 1.31$, последовательность {$a_n$} не является арифметической прогрессией.

Анализ последовательности {$b_n$}:
Последовательность задана формулами $b_1 = 5$ и $b_{n+1} = b_n + 4$.
Эта рекуррентная формула в точности соответствует определению арифметической прогрессии $x_{n+1} = x_n + d$. В данном случае разность прогрессии $d = 4$ является постоянной величиной.
Следовательно, последовательность {$b_n$} является арифметической прогрессией.

Анализ последовательности {$c_n$}:
Последовательность задана формулами $c_1 = 5$ и $c_{n+1} = -3c_n$.
Разность между двумя последовательными членами: $c_{n+1} - c_n = -3c_n - c_n = -4c_n$.
Разность зависит от значения члена $c_n$, следовательно, она не постоянна. Эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: арифметическую прогрессию образует последовательность {$b_n$}.

2) геометрическую прогрессию
Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же ненулевое число $q$ (знаменателем прогрессии). Рекуррентная формула для геометрической прогрессии имеет вид: $x_{n+1} = q \cdot x_n$. Проверим каждую из заданных последовательностей.

Анализ последовательности {$a_n$}:
Последовательность задана формулой $a_{n+1} = 0.1 \cdot a_n + 14$.
Найдем отношение двух последовательных членов: $q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{0.1 \cdot a_n + 14}{a_n} = 0.1 + \frac{14}{a_n}$.
Так как отношение зависит от значения члена $a_n$, оно не является постоянным. Например:
$a_1 = 1, a_2 = 14.1, a_3 = 15.41$.
Отношение $a_2 / a_1 = 14.1 / 1 = 14.1$.
Отношение $a_3 / a_2 = 15.41 / 14.1 \approx 1.09$.
Поскольку $14.1 \neq 1.09$, последовательность {$a_n$} не является геометрической прогрессией.

Анализ последовательности {$b_n$}:
Последовательность задана формулой $b_{n+1} = b_n + 4$.
Отношение двух последовательных членов: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{b_n + 4}{b_n} = 1 + \frac{4}{b_n}$.
Отношение зависит от значения члена $b_n$ и не является постоянным. Эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Анализ последовательности {$c_n$}:
Последовательность задана формулами $c_1 = 5$ и $c_{n+1} = -3c_n$.
Эта рекуррентная формула в точности соответствует определению геометрической прогрессии $x_{n+1} = q \cdot x_n$. В данном случае знаменатель прогрессии $q = -3$ является постоянной величиной.
Следовательно, последовательность {$c_n$} является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрическую прогрессию образует последовательность {$c_n$}.