Номер 6.40, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.40. Приведите пример последовательности:

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу;

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху;

3) неограниченной ни сверху, ни снизу;

4) ограниченной, но не имеющей предела;

5) возрастающей;

6) убывающей.

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех членов последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \le M$. Последовательность не ограничена снизу, если для любого числа $m$ найдется член последовательности $a_n$ такой, что $a_n < m$.

В качестве примера рассмотрим последовательность $a_n = -n$. Ее члены: $-1, -2, -3, \dots, -n, \dots$.

Эта последовательность ограничена сверху, например, числом $0$, так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $-n < 0$.

В то же время, она не ограничена снизу, так как для любого, сколь угодно малого числа $m$ (например, $m = -1000000$), можно найти такой номер $n$, что $a_n = -n < m$. Для этого достаточно взять $n > -m$. Так как множество натуральных чисел не ограничено сверху, такой номер $n$ всегда найдется.

Ответ: $a_n = -n$.

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех членов последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$. Последовательность не ограничена сверху, если для любого числа $M$ найдется член последовательности $a_n$ такой, что $a_n > M$.

В качестве примера рассмотрим последовательность натуральных чисел $a_n = n$. Ее члены: $1, 2, 3, \dots, n, \dots$.

Эта последовательность ограничена снизу, например, числом $1$, так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $n \ge 1$.

В то же время, она не ограничена сверху. Для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такой номер $n$, что $a_n = n > M$. Для этого достаточно взять $n > M$.

Ответ: $a_n = n$.

3) неограниченной ни сверху, ни снизу

Последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, если для любого числа $M$ найдется член $a_n > M$, и для любого числа $m$ найдется член $a_k < m$.

Рассмотрим последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$. Ее члены: $-1, 2, -3, 4, -5, \dots$.

Эта последовательность не ограничена сверху, так как ее подпоследовательность с четными номерами $a_{2k} = (-1)^{2k} \cdot 2k = 2k$ (члены $2, 4, 6, \dots$) стремится к $+\infty$.

Эта последовательность не ограничена снизу, так как ее подпоследовательность с нечетными номерами $a_{2k-1} = (-1)^{2k-1} \cdot (2k-1) = -(2k-1)$ (члены $-1, -3, -5, \dots$) стремится к $-\infty$.

Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot n$.

4) ограниченной, но не имеющей предела

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть существует такое число $C > 0$, что $|a_n| \le C$ для всех $n$. Последовательность не имеет предела, если она не сходится ни к какому конечному числу.

Рассмотрим последовательность $a_n = (-1)^n$. Ее члены: $-1, 1, -1, 1, \dots$.

Эта последовательность ограничена, так как все ее члены принадлежат множеству $\{-1, 1\}$. Следовательно, для любого $n$ выполняется неравенство $-1 \le a_n \le 1$, то есть $|a_n| \le 1$.

Однако, эта последовательность не имеет предела. Она имеет две предельные точки: $-1$ (предел подпоследовательности нечетных членов) и $1$ (предел подпоследовательности четных членов). Поскольку для существования предела последовательности необходимо, чтобы все ее подпоследовательности сходились к одному и тому же числу, данная последовательность предела не имеет.

Ответ: $a_n = (-1)^n$.

5) возрастающей

Последовательность $\{a_n\}$ называется возрастающей (строго возрастающей), если для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$.

В качестве примера рассмотрим последовательность $a_n = n$. Ее члены: $1, 2, 3, 4, \dots, n, \dots$.

Для проверки условия возрастания сравним $a_{n+1}$ и $a_n$. Имеем $a_{n+1} = n+1$ и $a_n = n$. Так как $n+1 > n$ для всех натуральных $n$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Ответ: $a_n = n$.

6) убывающей

Последовательность $\{a_n\}$ называется убывающей (строго убывающей), если для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} < a_n$.

В качестве примера рассмотрим последовательность $a_n = \frac{1}{n}$. Ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$.

Сравним члены $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ и $a_n = \frac{1}{n}$. Так как для любого натурального $n$ имеем $n+1 > n$, и обе части неравенства положительны, то обратные величины удовлетворяют обратному неравенству: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Таким образом, $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является убывающей.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$.