Номер 6.41, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.41. Найдите отрезок $[a; b]$ такой, чтобы в нем лежали все члены последовательности $a_n = \frac{5+4n}{2+n}$.

Для того чтобы найти отрезок $[a; b]$, содержащий все члены последовательности $a_n = \frac{5 + 4n}{2 + n}$, нужно исследовать ее на монотонность и найти ее точные нижнюю и верхнюю грани.

1. Преобразование формулы.

Выделим целую часть в выражении для $a_n$:

$a_n = \frac{4n + 5}{n + 2} = \frac{4(n + 2) - 8 + 5}{n + 2} = \frac{4(n + 2) - 3}{n + 2} = 4 - \frac{3}{n + 2}$.

2. Исследование на монотонность.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} = 4 - \frac{3}{(n+1) + 2} = 4 - \frac{3}{n + 3}$.

$a_{n+1} - a_n = \left(4 - \frac{3}{n + 3}\right) - \left(4 - \frac{3}{n + 2}\right) = \frac{3}{n + 2} - \frac{3}{n + 3} = \frac{3(n + 3) - 3(n + 2)}{(n + 2)(n + 3)} = \frac{3n + 9 - 3n - 6}{(n + 2)(n + 3)} = \frac{3}{(n + 2)(n + 3)}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), знаменатель $(n + 2)(n + 3)$ всегда положителен. Следовательно, $a_{n+1} - a_n > 0$, что означает $a_{n+1} > a_n$. Последовательность является строго возрастающей.

3. Нахождение границ.

Так как последовательность строго возрастает, ее наименьшее значение достигается при $n=1$. Это значение будет точной нижней гранью (инфимумом) множества значений последовательности.

$a = \inf\{a_n\} = a_1 = \frac{5 + 4 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{9}{3} = 3$.

Верхней границей для возрастающей последовательности является ее предел при $n \rightarrow \infty$. Этот предел будет точной верхней гранью (супремумом) множества значений.

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(4 - \frac{3}{n + 2}\right)$.

Так как $\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n + 2} = 0$, то предел равен:

$b = \sup\{a_n\} = \lim_{n\to\infty} a_n = 4 - 0 = 4$.

Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $3 \le a_n < 4$. Наименьший член последовательности равен 3, а все остальные члены больше 3 и стремятся к 4, не достигая этого значения. Таким образом, чтобы отрезок $[a; b]$ содержал все члены последовательности, его левый конец должен быть не больше 3, а правый — не меньше 4. Наименьший такой отрезок будет $[3; 4]$.

Ответ: $[3; 4]$.