Номер 6.39, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.39. Является ли последовательность ограниченной:

1) $12n - 5$;

2) $\frac{1}{2n}$;

3) $(-1)^n \sqrt{n}$;

4) $\frac{n + 3n^2}{n}$;

5) $\frac{n + \cos n}{2n + 1}$;

6) $\frac{n^2}{100n + 1}$?

1) $12n - 5$
Рассмотрим последовательность $a_n = 12n - 5$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 12(1) - 5 = 7$ и разностью $d = 12$.
Поскольку разность прогрессии положительна ($d > 0$), последовательность является возрастающей. Она ограничена снизу своим первым членом: $a_n \ge 7$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Однако, при неограниченном увеличении $n$, член последовательности $a_n$ также неограниченно возрастает. Формально, для любого числа $M > 0$ можно найти такое натуральное $n$, что $12n - 5 > M$. Это выполняется при $n > \frac{M+5}{12}$.
Так как последовательность не ограничена сверху, она не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.

2) $\frac{1}{2n}$
Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{1}{2n}$.
Поскольку $n \ge 1$, то $2n \ge 2$, и, следовательно, $0 < \frac{1}{2n} \le \frac{1}{2}$.
Это означает, что все члены последовательности находятся в интервале $(0, \frac{1}{2}]$.
Последовательность ограничена снизу числом 0 и сверху числом $\frac{1}{2}$.
Следовательно, последовательность является ограниченной. Можно взять $M = \frac{1}{2}$, тогда $|a_n| \le M$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Ответ: является ограниченной.

3) $(-1)^n \sqrt{n}$
Рассмотрим последовательность $a_n = (-1)^n \sqrt{n}$.
Ее члены принимают как положительные, так и отрицательные значения: $a_1 = -1$, $a_2 = \sqrt{2}$, $a_3 = -\sqrt{3}$, $a_4 = 2$, и т.д.
Рассмотрим модуль члена последовательности: $|a_n| = |(-1)^n \sqrt{n}| = \sqrt{n}$.
При $n \to \infty$, значение $\sqrt{n} \to \infty$. Это означает, что модуль члена последовательности неограниченно возрастает.
Подпоследовательность четных членов $a_{2k} = \sqrt{2k}$ стремится к $+\infty$.
Подпоследовательность нечетных членов $a_{2k-1} = -\sqrt{2k-1}$ стремится к $-\infty$.
Следовательно, последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, и не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.

4) $\frac{n + 3n^2}{n}$
Упростим выражение для члена последовательности $a_n = \frac{n + 3n^2}{n}$, разделив числитель на знаменатель почленно:
$a_n = \frac{n}{n} + \frac{3n^2}{n} = 1 + 3n$.
Эта последовательность, как и в пункте 1), является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1+3(1)=4$ и разностью $d=3$.
Так как $d > 0$, последовательность возрастает и не ограничена сверху. При $n \to \infty$, $a_n \to \infty$.
Последовательность ограничена снизу ($a_n \ge 4$), но не ограничена сверху, поэтому она не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.

5) $\frac{n + \cos n}{2n + 1}$
Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{n + \cos n}{2n + 1}$.
Известно, что функция косинуса ограничена: $-1 \le \cos n \le 1$ для любого $n$.
Найдем оценку сверху для $a_n$:
$a_n = \frac{n + \cos n}{2n + 1} \le \frac{n + 1}{2n + 1}$. Функция $f(n) = \frac{n+1}{2n+1}$ убывает с ростом $n$, поэтому ее максимальное значение достигается при $n=1$: $f(1) = \frac{1+1}{2(1)+1} = \frac{2}{3}$. Таким образом, $a_n \le \frac{2}{3}$.
Найдем оценку снизу для $a_n$:
$a_n = \frac{n + \cos n}{2n + 1} \ge \frac{n - 1}{2n + 1}$. Так как $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$ и $2n+1 > 0$, следовательно, $a_n \ge 0$.
Таким образом, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $0 \le a_n \le \frac{2}{3}$.
Поскольку последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.
Ответ: является ограниченной.

6) $\frac{n^2}{100n + 1}$
Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{n^2}{100n + 1}$.
Чтобы понять поведение последовательности при больших $n$, разделим числитель и знаменатель на $n$:
$a_n = \frac{n^2/n}{(100n+1)/n} = \frac{n}{100 + \frac{1}{n}}$.
При $n \to \infty$, числитель $n$ стремится к бесконечности, а знаменатель $100 + \frac{1}{n}$ стремится к $100$.
Следовательно, предел последовательности равен бесконечности: $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$.
Это означает, что последовательность не ограничена сверху.
Поскольку $n^2 > 0$ и $100n+1 > 0$ для $n \ge 1$, последовательность ограничена снизу нулем ($a_n > 0$).
Однако, из-за неограниченности сверху, последовательность не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.