Номер 6.33, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.33. Напишите общий член последовательности:

1) 4, 16, 36, 64, 100, ...;

2) 1, 2, 6, 24, 120, ...;

3) 1, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{4}{6} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{6}{10} $, ...;

4) $ -\frac{1}{2} $, $ \frac{2}{3} $, $ -\frac{3}{4} $, $ \frac{4}{5} $, $ -\frac{5}{6} $, ...;

5) 2, -2, 2, -2, 2, ...;

6) 3, 1, 3, 1, 3, .... .

1) Рассмотрим последовательность: $a_1 = 4$, $a_2 = 16$, $a_3 = 36$, $a_4 = 64$, $a_5 = 100$, ...
Можно заметить, что все члены последовательности являются квадратами чисел. Представим их в таком виде:
$a_1 = 4 = 2^2$
$a_2 = 16 = 4^2$
$a_3 = 36 = 6^2$
$a_4 = 64 = 8^2$
$a_5 = 100 = 10^2$
Основания степеней (2, 4, 6, 8, 10, ...) образуют последовательность четных чисел. Формула для n-го четного числа — $2n$.
Таким образом, n-й член последовательности равен квадрату n-го четного числа.
$a_n = (2n)^2 = 4n^2$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = (2 \cdot 1)^2 = 4$.
При $n=2$: $a_2 = (2 \cdot 2)^2 = 16$.
При $n=3$: $a_3 = (2 \cdot 3)^2 = 36$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = (2n)^2$

2) Рассмотрим последовательность: $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 6$, $a_4 = 24$, $a_5 = 120$, ...
Вычислим факториалы для первых нескольких натуральных чисел:
$1! = 1$
$2! = 1 \cdot 2 = 2$
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$
Сравнивая эти значения с членами последовательности, видим, что n-й член последовательности равен факториалу числа n.
$a_n = n!$
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = 1! = 1$.
При $n=2$: $a_2 = 2! = 2$.
При $n=3$: $a_3 = 3! = 6$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = n!$

3) Рассмотрим последовательность: $1, \frac{3}{4}, \frac{4}{6}, \frac{5}{8}, \frac{6}{10}, \dots$
Представим первый член в виде дроби. Чтобы найти закономерность, посмотрим на знаменатели: 4, 6, 8, 10. Это четные числа, начиная с 4. Логично предположить, что знаменатель первого члена равен 2. Тогда $1 = \frac{2}{2}$.
Последовательность выглядит так: $\frac{2}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{6}, \frac{5}{8}, \frac{6}{10}, \dots$
Числители: 2, 3, 4, 5, 6, ... Для n-го члена числитель равен $n+1$.
Знаменатели: 2, 4, 6, 8, 10, ... Это последовательность четных чисел. Для n-го члена знаменатель равен $2n$.
Таким образом, общая формула для n-го члена: $a_n = \frac{n+1}{2n}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = \frac{1+1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2+1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{3+1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = \frac{n+1}{2n}$

4) Рассмотрим последовательность: $-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, -\frac{5}{6}, \dots$
Эта последовательность является знакочередующейся. Знак n-го члена определяется множителем $(-1)^n$, так как первый член отрицательный, второй положительный, третий отрицательный и т.д.
Рассмотрим абсолютные значения членов последовательности: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots$
Числитель n-го члена равен $n$.
Знаменатель n-го члена равен $n+1$.
Таким образом, формула для абсолютного значения n-го члена: $|a_n| = \frac{n}{n+1}$.
Объединяя со знакопеременным множителем, получаем общую формулу: $a_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2}$.
При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \frac{3}{3+1} = -\frac{3}{4}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$

5) Рассмотрим последовательность: $2, -2, 2, -2, 2, \dots$
Это знакочередующаяся последовательность, все члены которой по модулю равны 2.
Знак n-го члена можно определить множителем $(-1)^{n+1}$ (или $(-1)^{n-1}$), так как первый член положительный, второй отрицательный, третий положительный и т.д.
При $n=1$: $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ (положительный знак).
При $n=2$: $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ (отрицательный знак).
Таким образом, чтобы получить n-й член, нужно умножить 2 на $(-1)^{n+1}$.
Общая формула: $a_n = 2(-1)^{n+1}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = 2(-1)^{1+1} = 2 \cdot 1 = 2$.
При $n=2$: $a_2 = 2(-1)^{2+1} = 2 \cdot (-1) = -2$.
При $n=3$: $a_3 = 2(-1)^{3+1} = 2 \cdot 1 = 2$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2(-1)^{n+1}$

6) Рассмотрим последовательность: $3, 1, 3, 1, 3, \dots$
В этой последовательности чередуются два числа: 3 и 1.
На нечетных позициях (n=1, 3, 5, ...) стоит число 3.
На четных позициях (n=2, 4, 6, ...) стоит число 1.
Можно представить эту последовательность как отклонение от среднего значения. Среднее значение равно $\frac{3+1}{2} = 2$.
Для нечетных n, член последовательности равен $2+1=3$.
Для четных n, член последовательности равен $2-1=1$.
Нам нужна величина, которая равна +1 для нечетных n и -1 для четных n. Этому условию удовлетворяет выражение $(-1)^{n+1}$.
Таким образом, общая формула: $a_n = 2 + (-1)^{n+1}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = 2 + (-1)^{1+1} = 2 + 1 = 3$.
При $n=2$: $a_2 = 2 + (-1)^{2+1} = 2 - 1 = 1$.
При $n=3$: $a_3 = 2 + (-1)^{3+1} = 2 + 1 = 3$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2 + (-1)^{n+1}$