Страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое числовая последовательность? Назовите способы ее задания. Как обозначаются последовательности?

2. Какая последовательность называется: а) ограниченной сверху; б) ограниченной снизу; в) ограниченной; г) монотонно возрастающей; д) монотонно убывающей?

3. Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Разъясните его смысл.

4. Сколько пределов может иметь сходящаяся последовательность?

5. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности и поясните ее смысл.

6. Какие последовательности называются бесконечно большими (положительными или отрицательными) величинами и бесконечно малыми величинами? Какова связь между ними?

7. Сформулируйте основные свойства предела и докажите их.

1. Что такое числовая последовательность? Назовите способы ее задания. Как обозначаются последовательности?

Числовая последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел $N$. Каждому натуральному числу $n \in N$ ставится в соответствие некоторое действительное число $x_n$. Число $x_n$ называется n-м членом последовательности.

Существует несколько способов задания последовательности:

1. Аналитический способ: последовательность задается формулой ее n-го члена, то есть $x_n = f(n)$. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру. Например, $x_n = \frac{n}{n+1}$.

2. Рекуррентный способ: задаются один или несколько первых членов последовательности и формула, позволяющая определить любой член последовательности через предыдущие. Например, последовательность Фибоначчи: $x_1 = 1, x_2 = 1, x_n = x_{n-1} + x_{n-2}$ при $n \ge 3$.

3. Словесный способ: правило составления последовательности описывается словами. Например, "последовательность всех простых чисел в порядке возрастания": 2, 3, 5, 7, 11, ...

Последовательности обозначаются с помощью фигурных или круглых скобок, например, $\{x_n\}$ или $(x_n)$, или просто $x_n$. Также их можно записывать перечислением членов: $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$.

Ответ: Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Способы задания: аналитический (формулой n-го члена), рекуррентный (через предыдущие члены) и словесный. Обозначения: $\{x_n\}$, $(x_n)$, $x_n$.

2. Какая последовательность называется: а) ограниченной сверху; б) ограниченной снизу; в) ограниченной; г) монотонно возрастающей; д) монотонно убывающей?

а) ограниченной сверху

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех номеров $n \in N$ выполняется неравенство $x_n \le M$. Число $M$ называется верхней гранью последовательности.

б) ограниченной снизу

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех номеров $n \in N$ выполняется неравенство $x_n \ge m$. Число $m$ называется нижней гранью последовательности.

в) ограниченной

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Это эквивалентно тому, что существует такое число $C > 0$, что для всех $n \in N$ выполняется неравенство $|x_n| \le C$.

г) монотонно возрастающей

Последовательность $\{x_n\}$ называется монотонно возрастающей, если каждый ее последующий член не меньше предыдущего, то есть для любого $n \in N$ выполняется неравенство $x_{n+1} \ge x_n$. Если $x_{n+1} > x_n$, последовательность называется строго возрастающей.

д) монотонно убывающей

Последовательность $\{x_n\}$ называется монотонно убывающей, если каждый ее последующий член не больше предыдущего, то есть для любого $n \in N$ выполняется неравенство $x_{n+1} \le x_n$. Если $x_{n+1} < x_n$, последовательность называется строго убывающей.

Ответ: Последовательность ограничена сверху/снизу, если все ее члены не больше/не меньше некоторого числа. Ограниченная — если ограничена и сверху, и снизу. Монотонно возрастающая/убывающая — если каждый следующий член не меньше/не больше предыдущего.

3. Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Разъясните его смысл.

Число $a$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ (зависящий от $\varepsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$.

Обозначение: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Смысл определения: Неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ равносильно $a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$. Это означает, что члены последовательности $x_n$ попадают в интервал $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, который называется $\varepsilon$-окрестностью точки $a$. Таким образом, предел $a$ — это такая точка, что какую бы малую окрестность вокруг нее мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого номера $N$, окажутся внутри этой окрестности. Иными словами, с ростом номера $n$ члены последовательности неограниченно приближаются к числу $a$.

Ответ: Число $a$ — предел последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует номер $N$, такой что для всех $n>N$ выполняется $|x_n - a| < \varepsilon$. Смысл в том, что все члены последовательности, начиная с некоторого, попадают в любую сколь угодно малую окрестность точки $a$.

4. Сколько пределов может иметь сходящаяся последовательность?

Сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Это свойство называется единственностью предела.

Доказательство от противного: Предположим, что последовательность $\{x_n\}$ имеет два различных предела, $a$ и $b$, где $a \ne b$. Возьмем $\varepsilon = \frac{|a - b|}{2}$. Очевидно, что $\varepsilon > 0$.

1. Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, то по определению предела для нашего $\varepsilon$ найдется номер $N_1$, такой что для всех $n > N_1$ выполняется $|x_n - a| < \varepsilon$.

2. Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = b$, то для того же $\varepsilon$ найдется номер $N_2$, такой что для всех $n > N_2$ выполняется $|x_n - b| < \varepsilon$.

Выберем $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для всех $n > N$ оба неравенства выполняются одновременно. Рассмотрим $|a-b|$. Используя свойство модуля (неравенство треугольника), получим: $|a - b| = |(a - x_n) + (x_n - b)| \le |a - x_n| + |x_n - b| = |x_n - a| + |x_n - b|$. Для $n > N$ имеем: $|x_n - a| + |x_n - b| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$. Подставив значение $\varepsilon$: $2\varepsilon = 2 \cdot \frac{|a - b|}{2} = |a - b|$. Таким образом, мы пришли к противоречию: $|a - b| < |a - b|$. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании двух различных пределов было неверным. Следовательно, предел единственен.

Ответ: Сходящаяся последовательность имеет ровно один предел.

5. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности и поясните ее смысл.

Формулировка теоремы: Всякая монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет предел (сходится).

Более развернуто:

• Всякая монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел.

• Всякая монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Смысл теоремы: Теорема Вейерштрасса является фундаментальной теоремой существования. Она гарантирует, что если члены последовательности ведут себя "упорядоченно" (все время возрастают или убывают) и при этом не могут уйти в бесконечность (ограничены), то они обязательно будут сгущаться, приближаясь к некоторому конкретному числу. Это число и будет их пределом. Теорема позволяет утверждать, что предел существует, даже если мы не можем его вычислить напрямую. Например, для последовательности $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ можно доказать, что она монотонно возрастает и ограничена сверху, а значит, у нее есть предел — это число $e$.

Ответ: Теорема Вейерштрасса гласит, что любая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Смысл в том, что если члены последовательности, например, возрастают, но не могут превысить некоторую границу, они неизбежно "упрутся" в некоторое число, которое и будет их пределом.

6. Какие последовательности называются бесконечно большими (положительными или отрицательными) величинами и бесконечно малыми величинами? Какова связь между ними?

Бесконечно малая последовательность (величина) — это последовательность $\{\alpha_n\}$, предел которой равен нулю: $\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$.

Бесконечно большая последовательность (величина) — это последовательность $\{x_n\}$, которая стремится к бесконечности. Формально: для любого сколь угодно большого числа $M > 0$ найдется такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|x_n| > M$. Обозначение: $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$.

• Если, начиная с некоторого номера, все члены $x_n$ положительны, то говорят, что последовательность является положительной бесконечно большой ($\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$).

• Если, начиная с некоторого номера, все члены $x_n$ отрицательны, то говорят, что последовательность является отрицательной бесконечно большой ($\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty$).

Связь между ними: Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами обратная.

• Если $\{x_n\}$ — бесконечно большая последовательность, то последовательность $\{\alpha_n\}$, составленная из обратных величин $\alpha_n = \frac{1}{x_n}$ (при условии $x_n \ne 0$), является бесконечно малой.

• Если $\{\alpha_n\}$ — бесконечно малая последовательность с ненулевыми членами, то последовательность $\{x_n\}$, составленная из обратных величин $x_n = \frac{1}{\alpha_n}$, является бесконечно большой.

Символически это записывают так: $x_n \to \infty \iff \frac{1}{x_n} \to 0$.

Ответ: Бесконечно малая — последовательность, стремящаяся к нулю. Бесконечно большая — последовательность, модуль членов которой неограниченно возрастает. Связь: если последовательность является бесконечно большой, то последовательность из обратных величин является бесконечно малой, и наоборот.

7. Сформулируйте основные свойства предела и докажите их.

Основные свойства пределов (арифметические операции). Пусть существуют конечные пределы $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ и $\lim_{n \to \infty} y_n = b$. Тогда:

1. Предел суммы/разности: Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов: $\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = a \pm b$.

2. Предел произведения: Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов: $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = a \cdot b$.

3. Предел частного: Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}$ (при $b \ne 0$).

Доказательство свойства предела суммы: Нужно доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется $|(x_n + y_n) - (a + b)| < \varepsilon$. По определению предела, для любого $\varepsilon' > 0$: - существует $N_1$ такое, что при $n > N_1$ выполняется $|x_n - a| < \varepsilon'$; - существует $N_2$ такое, что при $n > N_2$ выполняется $|y_n - b| < \varepsilon'$. Выберем $\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{2}$. Пусть $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для всех $n > N$ оба неравенства верны. Используя неравенство треугольника: $|(x_n + y_n) - (a + b)| = |(x_n - a) + (y_n - b)| \le |x_n - a| + |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. Что и требовалось доказать.

Доказательство свойства предела произведения: Нужно доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется $|x_n y_n - ab| < \varepsilon$. Преобразуем выражение: $|x_n y_n - ab| = |x_n y_n - a y_n + a y_n - ab| = |y_n(x_n - a) + a(y_n - b)| \le |y_n||x_n - a| + |a||y_n - b|$. Так как последовательность $\{y_n\}$ сходится, она ограничена, то есть существует $M > 0$ такое, что $|y_n| \le M$ для всех $n$. По определению предела для числа $\frac{\varepsilon}{2M} > 0$ найдется $N_1$ такое, что при $n > N_1$ будет $|x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2M}$. Для числа $\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} > 0$ (используем $|a|+1$ для случая $a=0$) найдется $N_2$ такое, что при $n > N_2$ будет $|y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}$. Пусть $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для всех $n > N$: $|x_n y_n - ab| \le |y_n||x_n - a| + |a||y_n - b| < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + |a| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{|a|}{|a|+1} \frac{\varepsilon}{2}$. Поскольку $\frac{|a|}{|a|+1} < 1$, то итоговое выражение меньше, чем $\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Основные свойства — это правила для вычисления пределов суммы, разности, произведения и частного последовательностей. Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения — произведению пределов, предел частного — частному пределов (если предел знаменателя не ноль).

6.30. Напишите первые пять членов последовательности ${$a_n$}:

1) $a_n = 9$;

2) $a_n = \frac{n^2-4}{n}$;

3) $a_n = \frac{2n-1}{n!}$;

4) $a_n = \frac{(-1)^n}{5n-7}$;

5) $a_n = 2^n + (-2)^n$;

6) $a_n = (-1)^n + (-1)^{n+1}$.

1) Последовательность задана формулой $a_n = 9$.
Эта последовательность является постоянной, так как ее члены не зависят от номера $n$. Каждый член последовательности равен 9.
$a_1 = 9$
$a_2 = 9$
$a_3 = 9$
$a_4 = 9$
$a_5 = 9$
Ответ: 9, 9, 9, 9, 9.

2) Последовательность задана формулой $a_n = \frac{n^2 - 4}{n}$.
Найдем первые пять членов, подставляя последовательно значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$:
$a_1 = \frac{1^2 - 4}{1} = \frac{1 - 4}{1} = -3$
$a_2 = \frac{2^2 - 4}{2} = \frac{4 - 4}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$a_3 = \frac{3^2 - 4}{3} = \frac{9 - 4}{3} = \frac{5}{3}$
$a_4 = \frac{4^2 - 4}{4} = \frac{16 - 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$a_5 = \frac{5^2 - 4}{5} = \frac{25 - 4}{5} = \frac{21}{5}$
Ответ: -3, 0, $\frac{5}{3}$, 3, $\frac{21}{5}$.

3) Последовательность задана формулой $a_n = \frac{2n - 1}{n!}$, где $n!$ - факториал числа $n$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$).
Найдем первые пять членов:
$a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1!} = \frac{1}{1} = 1$
$a_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2!} = \frac{3}{2}$
$a_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3!} = \frac{5}{6}$
$a_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4!} = \frac{7}{24}$
$a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5!} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$
Ответ: 1, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{24}$, $\frac{3}{40}$.

4) Последовательность задана формулой $a_n = \frac{(-1)^n}{5n - 7}$.
Найдем первые пять членов:
$a_1 = \frac{(-1)^1}{5 \cdot 1 - 7} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{(-1)^2}{5 \cdot 2 - 7} = \frac{1}{10 - 7} = \frac{1}{3}$
$a_3 = \frac{(-1)^3}{5 \cdot 3 - 7} = \frac{-1}{15 - 7} = -\frac{1}{8}$
$a_4 = \frac{(-1)^4}{5 \cdot 4 - 7} = \frac{1}{20 - 7} = \frac{1}{13}$
$a_5 = \frac{(-1)^5}{5 \cdot 5 - 7} = \frac{-1}{25 - 7} = -\frac{1}{18}$
Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{13}$, $-\frac{1}{18}$.

5) Последовательность задана формулой $a_n = 2^n + (-2)^n$.
Найдем первые пять членов:
$a_1 = 2^1 + (-2)^1 = 2 - 2 = 0$
$a_2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$
$a_3 = 2^3 + (-2)^3 = 8 + (-8) = 0$
$a_4 = 2^4 + (-2)^4 = 16 + 16 = 32$
$a_5 = 2^5 + (-2)^5 = 32 + (-32) = 0$
Можно заметить, что если $n$ — нечетное, то $(-2)^n = -2^n$, и $a_n = 2^n - 2^n = 0$. Если $n$ — четное, то $(-2)^n = 2^n$, и $a_n = 2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.
Ответ: 0, 8, 0, 32, 0.

6) Последовательность задана формулой $a_n = (-1)^n + (-1)^{n+1}$.
Найдем первые пять членов:
$a_1 = (-1)^1 + (-1)^{1+1} = -1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0$
$a_2 = (-1)^2 + (-1)^{2+1} = 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$
$a_3 = (-1)^3 + (-1)^{3+1} = -1 + (-1)^4 = -1 + 1 = 0$
$a_4 = (-1)^4 + (-1)^{4+1} = 1 + (-1)^5 = 1 - 1 = 0$
$a_5 = (-1)^5 + (-1)^{5+1} = -1 + (-1)^6 = -1 + 1 = 0$
Можно также преобразовать формулу: $a_n = (-1)^n + (-1)^n \cdot (-1)^1 = (-1)^n - (-1)^n = 0$. Таким образом, все члены последовательности равны нулю.
Ответ: 0, 0, 0, 0, 0.

6.31. Выпишите первые пять членов последовательности ${r_n}$, заданной рекуррентной формулой:

1) $r_1 = 9, r_{n+1} = 0,1 \cdot r_n + 10;$

2) $r_1 = -3, r_{n+1} = 9 - 2r_n;$

3) $r_1 = 5, r_{n+1} = (-1)^n \cdot r_n - 8;$

4) $r_1 = r_2 = 1, r_{n+2} = r_{n+1} + r_n.$

1) Для последовательности, заданной условиями $r_1=9$ и $r_{n+1} = 0.1 \cdot r_n + 10$, найдем первые пять членов.

Первый член задан: $r_1 = 9$.

Вычисляем второй член при $n=1$:

$r_2 = 0.1 \cdot r_1 + 10 = 0.1 \cdot 9 + 10 = 0.9 + 10 = 10.9$.

Вычисляем третий член при $n=2$:

$r_3 = 0.1 \cdot r_2 + 10 = 0.1 \cdot 10.9 + 10 = 1.09 + 10 = 11.09$.

Вычисляем четвертый член при $n=3$:

$r_4 = 0.1 \cdot r_3 + 10 = 0.1 \cdot 11.09 + 10 = 1.109 + 10 = 11.109$.

Вычисляем пятый член при $n=4$:

$r_5 = 0.1 \cdot r_4 + 10 = 0.1 \cdot 11.109 + 10 = 1.1109 + 10 = 11.1109$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 9; 10,9; 11,09; 11,109; 11,1109.

Ответ: 9; 10.9; 11.09; 11.109; 11.1109.

2) Для последовательности, заданной условиями $r_1=-3$ и $r_{n+1} = 9 - 2r_n$, найдем первые пять членов.

Первый член задан: $r_1 = -3$.

Вычисляем второй член при $n=1$:

$r_2 = 9 - 2r_1 = 9 - 2(-3) = 9 + 6 = 15$.

Вычисляем третий член при $n=2$:

$r_3 = 9 - 2r_2 = 9 - 2(15) = 9 - 30 = -21$.

Вычисляем четвертый член при $n=3$:

$r_4 = 9 - 2r_3 = 9 - 2(-21) = 9 + 42 = 51$.

Вычисляем пятый член при $n=4$:

$r_5 = 9 - 2r_4 = 9 - 2(51) = 9 - 102 = -93$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: -3; 15; -21; 51; -93.

Ответ: -3; 15; -21; 51; -93.

3) Для последовательности, заданной условиями $r_1=5$ и $r_{n+1} = (-1)^n \cdot r_n - 8$, найдем первые пять членов.

Первый член задан: $r_1 = 5$.

Вычисляем второй член при $n=1$:

$r_2 = (-1)^1 \cdot r_1 - 8 = -1 \cdot 5 - 8 = -5 - 8 = -13$.

Вычисляем третий член при $n=2$:

$r_3 = (-1)^2 \cdot r_2 - 8 = 1 \cdot (-13) - 8 = -13 - 8 = -21$.

Вычисляем четвертый член при $n=3$:

$r_4 = (-1)^3 \cdot r_3 - 8 = -1 \cdot (-21) - 8 = 21 - 8 = 13$.

Вычисляем пятый член при $n=4$:

$r_5 = (-1)^4 \cdot r_4 - 8 = 1 \cdot 13 - 8 = 13 - 8 = 5$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 5; -13; -21; 13; 5.

Ответ: 5; -13; -21; 13; 5.

4) Для последовательности, заданной условиями $r_1=1$, $r_2=1$ и $r_{n+2} = r_{n+1} + r_n$, найдем первые пять членов.

Первый и второй члены заданы: $r_1 = 1$, $r_2 = 1$.

Вычисляем третий член при $n=1$:

$r_3 = r_{1+2} = r_2 + r_1 = 1 + 1 = 2$.

Вычисляем четвертый член при $n=2$:

$r_4 = r_{2+2} = r_3 + r_2 = 2 + 1 = 3$.

Вычисляем пятый член при $n=3$:

$r_5 = r_{3+2} = r_4 + r_3 = 3 + 2 = 5$.

Таким образом, первые пять членов последовательности (последовательности Фибоначчи): 1; 1; 2; 3; 5.

Ответ: 1; 1; 2; 3; 5.

6.32. Напишите первые пять членов последовательности натуральных чисел:

1) кратных 4;

2) кратных 3;

3) при делении которых на 5 в остатке получается 3;

4) кратных 3 и 5.

1) кратных 4
Последовательность натуральных чисел, кратных 4, представляет собой арифметическую прогрессию. Каждый следующий член этой последовательности получается путем прибавления 4 к предыдущему, а первый член равен 4. Общий член такой последовательности можно задать формулой $a_n = 4n$, где $n$ — номер члена последовательности ($n = 1, 2, 3, ...$).
Найдем первые пять членов этой последовательности:
Первый член ($n=1$): $a_1 = 4 \cdot 1 = 4$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 4 \cdot 2 = 8$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 4 \cdot 3 = 12$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 4 \cdot 4 = 16$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = 4 \cdot 5 = 20$
Ответ: 4, 8, 12, 16, 20.

2) кратных 3
Последовательность натуральных чисел, кратных 3, также является арифметической прогрессией. Ее первый член равен 3, а разность равна 3. Общий член этой последовательности задается формулой $a_n = 3n$, где $n \ge 1$.
Найдем первые пять членов:
Первый член ($n=1$): $a_1 = 3 \cdot 1 = 3$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 3 \cdot 2 = 6$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 3 \cdot 3 = 9$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 3 \cdot 4 = 12$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = 3 \cdot 5 = 15$
Ответ: 3, 6, 9, 12, 15.

3) при делении которых на 5 в остатке получается 3
Натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 3, можно описать общей формулой $a_k = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$). Мы ищем натуральные числа, поэтому начинаем с $k=0$.
Найдем первые пять таких чисел, подставляя последовательные значения $k$:
При $k=0$: $a_1 = 5 \cdot 0 + 3 = 3$
При $k=1$: $a_2 = 5 \cdot 1 + 3 = 8$
При $k=2$: $a_3 = 5 \cdot 2 + 3 = 13$
При $k=3$: $a_4 = 5 \cdot 3 + 3 = 18$
При $k=4$: $a_5 = 5 \cdot 4 + 3 = 23$
Ответ: 3, 8, 13, 18, 23.

4) кратных 3 и 5
Число, которое кратно и 3, и 5, должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 3 и 5 являются взаимно простыми числами, их НОК равно их произведению: НОК(3, 5) = $3 \cdot 5 = 15$.
Таким образом, нам нужно найти первые пять натуральных чисел, кратных 15. Общий член этой последовательности задается формулой $a_n = 15n$, где $n \ge 1$.
Найдем первые пять членов:
Первый член ($n=1$): $a_1 = 15 \cdot 1 = 15$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 15 \cdot 2 = 30$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 15 \cdot 3 = 45$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 15 \cdot 4 = 60$
Пятый член ($n=5$): $a_5 = 15 \cdot 5 = 75$
Ответ: 15, 30, 45, 60, 75.

6.33. Напишите общий член последовательности:

1) 4, 16, 36, 64, 100, ...;

2) 1, 2, 6, 24, 120, ...;

3) 1, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{4}{6} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{6}{10} $, ...;

4) $ -\frac{1}{2} $, $ \frac{2}{3} $, $ -\frac{3}{4} $, $ \frac{4}{5} $, $ -\frac{5}{6} $, ...;

5) 2, -2, 2, -2, 2, ...;

6) 3, 1, 3, 1, 3, .... .

1) Рассмотрим последовательность: $a_1 = 4$, $a_2 = 16$, $a_3 = 36$, $a_4 = 64$, $a_5 = 100$, ...
Можно заметить, что все члены последовательности являются квадратами чисел. Представим их в таком виде:
$a_1 = 4 = 2^2$
$a_2 = 16 = 4^2$
$a_3 = 36 = 6^2$
$a_4 = 64 = 8^2$
$a_5 = 100 = 10^2$
Основания степеней (2, 4, 6, 8, 10, ...) образуют последовательность четных чисел. Формула для n-го четного числа — $2n$.
Таким образом, n-й член последовательности равен квадрату n-го четного числа.
$a_n = (2n)^2 = 4n^2$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = (2 \cdot 1)^2 = 4$.
При $n=2$: $a_2 = (2 \cdot 2)^2 = 16$.
При $n=3$: $a_3 = (2 \cdot 3)^2 = 36$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = (2n)^2$

2) Рассмотрим последовательность: $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 6$, $a_4 = 24$, $a_5 = 120$, ...
Вычислим факториалы для первых нескольких натуральных чисел:
$1! = 1$
$2! = 1 \cdot 2 = 2$
$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$
Сравнивая эти значения с членами последовательности, видим, что n-й член последовательности равен факториалу числа n.
$a_n = n!$
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = 1! = 1$.
При $n=2$: $a_2 = 2! = 2$.
При $n=3$: $a_3 = 3! = 6$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = n!$

3) Рассмотрим последовательность: $1, \frac{3}{4}, \frac{4}{6}, \frac{5}{8}, \frac{6}{10}, \dots$
Представим первый член в виде дроби. Чтобы найти закономерность, посмотрим на знаменатели: 4, 6, 8, 10. Это четные числа, начиная с 4. Логично предположить, что знаменатель первого члена равен 2. Тогда $1 = \frac{2}{2}$.
Последовательность выглядит так: $\frac{2}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{6}, \frac{5}{8}, \frac{6}{10}, \dots$
Числители: 2, 3, 4, 5, 6, ... Для n-го члена числитель равен $n+1$.
Знаменатели: 2, 4, 6, 8, 10, ... Это последовательность четных чисел. Для n-го члена знаменатель равен $2n$.
Таким образом, общая формула для n-го члена: $a_n = \frac{n+1}{2n}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = \frac{1+1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2+1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{3+1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = \frac{n+1}{2n}$

4) Рассмотрим последовательность: $-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, -\frac{5}{6}, \dots$
Эта последовательность является знакочередующейся. Знак n-го члена определяется множителем $(-1)^n$, так как первый член отрицательный, второй положительный, третий отрицательный и т.д.
Рассмотрим абсолютные значения членов последовательности: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \dots$
Числитель n-го члена равен $n$.
Знаменатель n-го члена равен $n+1$.
Таким образом, формула для абсолютного значения n-го члена: $|a_n| = \frac{n}{n+1}$.
Объединяя со знакопеременным множителем, получаем общую формулу: $a_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \frac{1}{1+1} = -\frac{1}{2}$.
При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$.
При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \frac{3}{3+1} = -\frac{3}{4}$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$

5) Рассмотрим последовательность: $2, -2, 2, -2, 2, \dots$
Это знакочередующаяся последовательность, все члены которой по модулю равны 2.
Знак n-го члена можно определить множителем $(-1)^{n+1}$ (или $(-1)^{n-1}$), так как первый член положительный, второй отрицательный, третий положительный и т.д.
При $n=1$: $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$ (положительный знак).
При $n=2$: $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$ (отрицательный знак).
Таким образом, чтобы получить n-й член, нужно умножить 2 на $(-1)^{n+1}$.
Общая формула: $a_n = 2(-1)^{n+1}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = 2(-1)^{1+1} = 2 \cdot 1 = 2$.
При $n=2$: $a_2 = 2(-1)^{2+1} = 2 \cdot (-1) = -2$.
При $n=3$: $a_3 = 2(-1)^{3+1} = 2 \cdot 1 = 2$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2(-1)^{n+1}$

6) Рассмотрим последовательность: $3, 1, 3, 1, 3, \dots$
В этой последовательности чередуются два числа: 3 и 1.
На нечетных позициях (n=1, 3, 5, ...) стоит число 3.
На четных позициях (n=2, 4, 6, ...) стоит число 1.
Можно представить эту последовательность как отклонение от среднего значения. Среднее значение равно $\frac{3+1}{2} = 2$.
Для нечетных n, член последовательности равен $2+1=3$.
Для четных n, член последовательности равен $2-1=1$.
Нам нужна величина, которая равна +1 для нечетных n и -1 для четных n. Этому условию удовлетворяет выражение $(-1)^{n+1}$.
Таким образом, общая формула: $a_n = 2 + (-1)^{n+1}$.
Проверим формулу:
При $n=1$: $a_1 = 2 + (-1)^{1+1} = 2 + 1 = 3$.
При $n=2$: $a_2 = 2 + (-1)^{2+1} = 2 - 1 = 1$.
При $n=3$: $a_3 = 2 + (-1)^{3+1} = 2 + 1 = 3$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2 + (-1)^{n+1}$