Номер 6.31, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.31. Выпишите первые пять членов последовательности ${r_n}$, заданной рекуррентной формулой:

1) $r_1 = 9, r_{n+1} = 0,1 \cdot r_n + 10;$

2) $r_1 = -3, r_{n+1} = 9 - 2r_n;$

3) $r_1 = 5, r_{n+1} = (-1)^n \cdot r_n - 8;$

4) $r_1 = r_2 = 1, r_{n+2} = r_{n+1} + r_n.$

1) Для последовательности, заданной условиями $r_1=9$ и $r_{n+1} = 0.1 \cdot r_n + 10$, найдем первые пять членов.

Первый член задан: $r_1 = 9$.

Вычисляем второй член при $n=1$:

$r_2 = 0.1 \cdot r_1 + 10 = 0.1 \cdot 9 + 10 = 0.9 + 10 = 10.9$.

Вычисляем третий член при $n=2$:

$r_3 = 0.1 \cdot r_2 + 10 = 0.1 \cdot 10.9 + 10 = 1.09 + 10 = 11.09$.

Вычисляем четвертый член при $n=3$:

$r_4 = 0.1 \cdot r_3 + 10 = 0.1 \cdot 11.09 + 10 = 1.109 + 10 = 11.109$.

Вычисляем пятый член при $n=4$:

$r_5 = 0.1 \cdot r_4 + 10 = 0.1 \cdot 11.109 + 10 = 1.1109 + 10 = 11.1109$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 9; 10,9; 11,09; 11,109; 11,1109.

Ответ: 9; 10.9; 11.09; 11.109; 11.1109.

2) Для последовательности, заданной условиями $r_1=-3$ и $r_{n+1} = 9 - 2r_n$, найдем первые пять членов.

Первый член задан: $r_1 = -3$.

Вычисляем второй член при $n=1$:

$r_2 = 9 - 2r_1 = 9 - 2(-3) = 9 + 6 = 15$.

Вычисляем третий член при $n=2$:

$r_3 = 9 - 2r_2 = 9 - 2(15) = 9 - 30 = -21$.

Вычисляем четвертый член при $n=3$:

$r_4 = 9 - 2r_3 = 9 - 2(-21) = 9 + 42 = 51$.

Вычисляем пятый член при $n=4$:

$r_5 = 9 - 2r_4 = 9 - 2(51) = 9 - 102 = -93$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: -3; 15; -21; 51; -93.

Ответ: -3; 15; -21; 51; -93.

3) Для последовательности, заданной условиями $r_1=5$ и $r_{n+1} = (-1)^n \cdot r_n - 8$, найдем первые пять членов.

Первый член задан: $r_1 = 5$.

Вычисляем второй член при $n=1$:

$r_2 = (-1)^1 \cdot r_1 - 8 = -1 \cdot 5 - 8 = -5 - 8 = -13$.

Вычисляем третий член при $n=2$:

$r_3 = (-1)^2 \cdot r_2 - 8 = 1 \cdot (-13) - 8 = -13 - 8 = -21$.

Вычисляем четвертый член при $n=3$:

$r_4 = (-1)^3 \cdot r_3 - 8 = -1 \cdot (-21) - 8 = 21 - 8 = 13$.

Вычисляем пятый член при $n=4$:

$r_5 = (-1)^4 \cdot r_4 - 8 = 1 \cdot 13 - 8 = 13 - 8 = 5$.

Таким образом, первые пять членов последовательности: 5; -13; -21; 13; 5.

Ответ: 5; -13; -21; 13; 5.

4) Для последовательности, заданной условиями $r_1=1$, $r_2=1$ и $r_{n+2} = r_{n+1} + r_n$, найдем первые пять членов.

Первый и второй члены заданы: $r_1 = 1$, $r_2 = 1$.

Вычисляем третий член при $n=1$:

$r_3 = r_{1+2} = r_2 + r_1 = 1 + 1 = 2$.

Вычисляем четвертый член при $n=2$:

$r_4 = r_{2+2} = r_3 + r_2 = 2 + 1 = 3$.

Вычисляем пятый член при $n=3$:

$r_5 = r_{3+2} = r_4 + r_3 = 3 + 2 = 5$.

Таким образом, первые пять членов последовательности (последовательности Фибоначчи): 1; 1; 2; 3; 5.

Ответ: 1; 1; 2; 3; 5.