Номер 6.30, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.30. Напишите первые пять членов последовательности ${$a_n$}:

1) $a_n = 9$;

2) $a_n = \frac{n^2-4}{n}$;

3) $a_n = \frac{2n-1}{n!}$;

4) $a_n = \frac{(-1)^n}{5n-7}$;

5) $a_n = 2^n + (-2)^n$;

6) $a_n = (-1)^n + (-1)^{n+1}$.

1) Последовательность задана формулой $a_n = 9$.
Эта последовательность является постоянной, так как ее члены не зависят от номера $n$. Каждый член последовательности равен 9.
$a_1 = 9$
$a_2 = 9$
$a_3 = 9$
$a_4 = 9$
$a_5 = 9$
Ответ: 9, 9, 9, 9, 9.

2) Последовательность задана формулой $a_n = \frac{n^2 - 4}{n}$.
Найдем первые пять членов, подставляя последовательно значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$:
$a_1 = \frac{1^2 - 4}{1} = \frac{1 - 4}{1} = -3$
$a_2 = \frac{2^2 - 4}{2} = \frac{4 - 4}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$a_3 = \frac{3^2 - 4}{3} = \frac{9 - 4}{3} = \frac{5}{3}$
$a_4 = \frac{4^2 - 4}{4} = \frac{16 - 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$a_5 = \frac{5^2 - 4}{5} = \frac{25 - 4}{5} = \frac{21}{5}$
Ответ: -3, 0, $\frac{5}{3}$, 3, $\frac{21}{5}$.

3) Последовательность задана формулой $a_n = \frac{2n - 1}{n!}$, где $n!$ - факториал числа $n$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$).
Найдем первые пять членов:
$a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{1!} = \frac{1}{1} = 1$
$a_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2!} = \frac{3}{2}$
$a_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3!} = \frac{5}{6}$
$a_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4!} = \frac{7}{24}$
$a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{5!} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$
Ответ: 1, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{24}$, $\frac{3}{40}$.

4) Последовательность задана формулой $a_n = \frac{(-1)^n}{5n - 7}$.
Найдем первые пять членов:
$a_1 = \frac{(-1)^1}{5 \cdot 1 - 7} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{(-1)^2}{5 \cdot 2 - 7} = \frac{1}{10 - 7} = \frac{1}{3}$
$a_3 = \frac{(-1)^3}{5 \cdot 3 - 7} = \frac{-1}{15 - 7} = -\frac{1}{8}$
$a_4 = \frac{(-1)^4}{5 \cdot 4 - 7} = \frac{1}{20 - 7} = \frac{1}{13}$
$a_5 = \frac{(-1)^5}{5 \cdot 5 - 7} = \frac{-1}{25 - 7} = -\frac{1}{18}$
Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{13}$, $-\frac{1}{18}$.

5) Последовательность задана формулой $a_n = 2^n + (-2)^n$.
Найдем первые пять членов:
$a_1 = 2^1 + (-2)^1 = 2 - 2 = 0$
$a_2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$
$a_3 = 2^3 + (-2)^3 = 8 + (-8) = 0$
$a_4 = 2^4 + (-2)^4 = 16 + 16 = 32$
$a_5 = 2^5 + (-2)^5 = 32 + (-32) = 0$
Можно заметить, что если $n$ — нечетное, то $(-2)^n = -2^n$, и $a_n = 2^n - 2^n = 0$. Если $n$ — четное, то $(-2)^n = 2^n$, и $a_n = 2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.
Ответ: 0, 8, 0, 32, 0.

6) Последовательность задана формулой $a_n = (-1)^n + (-1)^{n+1}$.
Найдем первые пять членов:
$a_1 = (-1)^1 + (-1)^{1+1} = -1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0$
$a_2 = (-1)^2 + (-1)^{2+1} = 1 + (-1)^3 = 1 - 1 = 0$
$a_3 = (-1)^3 + (-1)^{3+1} = -1 + (-1)^4 = -1 + 1 = 0$
$a_4 = (-1)^4 + (-1)^{4+1} = 1 + (-1)^5 = 1 - 1 = 0$
$a_5 = (-1)^5 + (-1)^{5+1} = -1 + (-1)^6 = -1 + 1 = 0$
Можно также преобразовать формулу: $a_n = (-1)^n + (-1)^n \cdot (-1)^1 = (-1)^n - (-1)^n = 0$. Таким образом, все члены последовательности равны нулю.
Ответ: 0, 0, 0, 0, 0.