Вопросы, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое числовая последовательность? Назовите способы ее задания. Как обозначаются последовательности?

2. Какая последовательность называется: а) ограниченной сверху; б) ограниченной снизу; в) ограниченной; г) монотонно возрастающей; д) монотонно убывающей?

3. Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Разъясните его смысл.

4. Сколько пределов может иметь сходящаяся последовательность?

5. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности и поясните ее смысл.

6. Какие последовательности называются бесконечно большими (положительными или отрицательными) величинами и бесконечно малыми величинами? Какова связь между ними?

7. Сформулируйте основные свойства предела и докажите их.

1. Что такое числовая последовательность? Назовите способы ее задания. Как обозначаются последовательности?

Числовая последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел $N$. Каждому натуральному числу $n \in N$ ставится в соответствие некоторое действительное число $x_n$. Число $x_n$ называется n-м членом последовательности.

Существует несколько способов задания последовательности:

1. Аналитический способ: последовательность задается формулой ее n-го члена, то есть $x_n = f(n)$. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру. Например, $x_n = \frac{n}{n+1}$.

2. Рекуррентный способ: задаются один или несколько первых членов последовательности и формула, позволяющая определить любой член последовательности через предыдущие. Например, последовательность Фибоначчи: $x_1 = 1, x_2 = 1, x_n = x_{n-1} + x_{n-2}$ при $n \ge 3$.

3. Словесный способ: правило составления последовательности описывается словами. Например, "последовательность всех простых чисел в порядке возрастания": 2, 3, 5, 7, 11, ...

Последовательности обозначаются с помощью фигурных или круглых скобок, например, $\{x_n\}$ или $(x_n)$, или просто $x_n$. Также их можно записывать перечислением членов: $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$.

Ответ: Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Способы задания: аналитический (формулой n-го члена), рекуррентный (через предыдущие члены) и словесный. Обозначения: $\{x_n\}$, $(x_n)$, $x_n$.

2. Какая последовательность называется: а) ограниченной сверху; б) ограниченной снизу; в) ограниченной; г) монотонно возрастающей; д) монотонно убывающей?

а) ограниченной сверху

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех номеров $n \in N$ выполняется неравенство $x_n \le M$. Число $M$ называется верхней гранью последовательности.

б) ограниченной снизу

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех номеров $n \in N$ выполняется неравенство $x_n \ge m$. Число $m$ называется нижней гранью последовательности.

в) ограниченной

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Это эквивалентно тому, что существует такое число $C > 0$, что для всех $n \in N$ выполняется неравенство $|x_n| \le C$.

г) монотонно возрастающей

Последовательность $\{x_n\}$ называется монотонно возрастающей, если каждый ее последующий член не меньше предыдущего, то есть для любого $n \in N$ выполняется неравенство $x_{n+1} \ge x_n$. Если $x_{n+1} > x_n$, последовательность называется строго возрастающей.

д) монотонно убывающей

Последовательность $\{x_n\}$ называется монотонно убывающей, если каждый ее последующий член не больше предыдущего, то есть для любого $n \in N$ выполняется неравенство $x_{n+1} \le x_n$. Если $x_{n+1} < x_n$, последовательность называется строго убывающей.

Ответ: Последовательность ограничена сверху/снизу, если все ее члены не больше/не меньше некоторого числа. Ограниченная — если ограничена и сверху, и снизу. Монотонно возрастающая/убывающая — если каждый следующий член не меньше/не больше предыдущего.

3. Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Разъясните его смысл.

Число $a$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ (зависящий от $\varepsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ будет выполняться неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$.

Обозначение: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

Смысл определения: Неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ равносильно $a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$. Это означает, что члены последовательности $x_n$ попадают в интервал $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, который называется $\varepsilon$-окрестностью точки $a$. Таким образом, предел $a$ — это такая точка, что какую бы малую окрестность вокруг нее мы ни взяли, все члены последовательности, начиная с некоторого номера $N$, окажутся внутри этой окрестности. Иными словами, с ростом номера $n$ члены последовательности неограниченно приближаются к числу $a$.

Ответ: Число $a$ — предел последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует номер $N$, такой что для всех $n>N$ выполняется $|x_n - a| < \varepsilon$. Смысл в том, что все члены последовательности, начиная с некоторого, попадают в любую сколь угодно малую окрестность точки $a$.

4. Сколько пределов может иметь сходящаяся последовательность?

Сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Это свойство называется единственностью предела.

Доказательство от противного: Предположим, что последовательность $\{x_n\}$ имеет два различных предела, $a$ и $b$, где $a \ne b$. Возьмем $\varepsilon = \frac{|a - b|}{2}$. Очевидно, что $\varepsilon > 0$.

1. Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, то по определению предела для нашего $\varepsilon$ найдется номер $N_1$, такой что для всех $n > N_1$ выполняется $|x_n - a| < \varepsilon$.

2. Так как $\lim_{n \to \infty} x_n = b$, то для того же $\varepsilon$ найдется номер $N_2$, такой что для всех $n > N_2$ выполняется $|x_n - b| < \varepsilon$.

Выберем $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для всех $n > N$ оба неравенства выполняются одновременно. Рассмотрим $|a-b|$. Используя свойство модуля (неравенство треугольника), получим: $|a - b| = |(a - x_n) + (x_n - b)| \le |a - x_n| + |x_n - b| = |x_n - a| + |x_n - b|$. Для $n > N$ имеем: $|x_n - a| + |x_n - b| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$. Подставив значение $\varepsilon$: $2\varepsilon = 2 \cdot \frac{|a - b|}{2} = |a - b|$. Таким образом, мы пришли к противоречию: $|a - b| < |a - b|$. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании двух различных пределов было неверным. Следовательно, предел единственен.

Ответ: Сходящаяся последовательность имеет ровно один предел.

5. Сформулируйте теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности и поясните ее смысл.

Формулировка теоремы: Всякая монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет предел (сходится).

Более развернуто:

• Всякая монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел.

• Всякая монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Смысл теоремы: Теорема Вейерштрасса является фундаментальной теоремой существования. Она гарантирует, что если члены последовательности ведут себя "упорядоченно" (все время возрастают или убывают) и при этом не могут уйти в бесконечность (ограничены), то они обязательно будут сгущаться, приближаясь к некоторому конкретному числу. Это число и будет их пределом. Теорема позволяет утверждать, что предел существует, даже если мы не можем его вычислить напрямую. Например, для последовательности $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ можно доказать, что она монотонно возрастает и ограничена сверху, а значит, у нее есть предел — это число $e$.

Ответ: Теорема Вейерштрасса гласит, что любая монотонная и ограниченная последовательность сходится. Смысл в том, что если члены последовательности, например, возрастают, но не могут превысить некоторую границу, они неизбежно "упрутся" в некоторое число, которое и будет их пределом.

6. Какие последовательности называются бесконечно большими (положительными или отрицательными) величинами и бесконечно малыми величинами? Какова связь между ними?

Бесконечно малая последовательность (величина) — это последовательность $\{\alpha_n\}$, предел которой равен нулю: $\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$.

Бесконечно большая последовательность (величина) — это последовательность $\{x_n\}$, которая стремится к бесконечности. Формально: для любого сколь угодно большого числа $M > 0$ найдется такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|x_n| > M$. Обозначение: $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$.

• Если, начиная с некоторого номера, все члены $x_n$ положительны, то говорят, что последовательность является положительной бесконечно большой ($\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$).

• Если, начиная с некоторого номера, все члены $x_n$ отрицательны, то говорят, что последовательность является отрицательной бесконечно большой ($\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty$).

Связь между ними: Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами обратная.

• Если $\{x_n\}$ — бесконечно большая последовательность, то последовательность $\{\alpha_n\}$, составленная из обратных величин $\alpha_n = \frac{1}{x_n}$ (при условии $x_n \ne 0$), является бесконечно малой.

• Если $\{\alpha_n\}$ — бесконечно малая последовательность с ненулевыми членами, то последовательность $\{x_n\}$, составленная из обратных величин $x_n = \frac{1}{\alpha_n}$, является бесконечно большой.

Символически это записывают так: $x_n \to \infty \iff \frac{1}{x_n} \to 0$.

Ответ: Бесконечно малая — последовательность, стремящаяся к нулю. Бесконечно большая — последовательность, модуль членов которой неограниченно возрастает. Связь: если последовательность является бесконечно большой, то последовательность из обратных величин является бесконечно малой, и наоборот.

7. Сформулируйте основные свойства предела и докажите их.

Основные свойства пределов (арифметические операции). Пусть существуют конечные пределы $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ и $\lim_{n \to \infty} y_n = b$. Тогда:

1. Предел суммы/разности: Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) их пределов: $\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = a \pm b$.

2. Предел произведения: Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов: $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = a \cdot b$.

3. Предел частного: Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}$ (при $b \ne 0$).

Доказательство свойства предела суммы: Нужно доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется $|(x_n + y_n) - (a + b)| < \varepsilon$. По определению предела, для любого $\varepsilon' > 0$: - существует $N_1$ такое, что при $n > N_1$ выполняется $|x_n - a| < \varepsilon'$; - существует $N_2$ такое, что при $n > N_2$ выполняется $|y_n - b| < \varepsilon'$. Выберем $\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{2}$. Пусть $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для всех $n > N$ оба неравенства верны. Используя неравенство треугольника: $|(x_n + y_n) - (a + b)| = |(x_n - a) + (y_n - b)| \le |x_n - a| + |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. Что и требовалось доказать.

Доказательство свойства предела произведения: Нужно доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $N$, такой что для всех $n > N$ выполняется $|x_n y_n - ab| < \varepsilon$. Преобразуем выражение: $|x_n y_n - ab| = |x_n y_n - a y_n + a y_n - ab| = |y_n(x_n - a) + a(y_n - b)| \le |y_n||x_n - a| + |a||y_n - b|$. Так как последовательность $\{y_n\}$ сходится, она ограничена, то есть существует $M > 0$ такое, что $|y_n| \le M$ для всех $n$. По определению предела для числа $\frac{\varepsilon}{2M} > 0$ найдется $N_1$ такое, что при $n > N_1$ будет $|x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2M}$. Для числа $\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} > 0$ (используем $|a|+1$ для случая $a=0$) найдется $N_2$ такое, что при $n > N_2$ будет $|y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}$. Пусть $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для всех $n > N$: $|x_n y_n - ab| \le |y_n||x_n - a| + |a||y_n - b| < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + |a| \cdot \frac{\varepsilon}{2(|a|+1)} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{|a|}{|a|+1} \frac{\varepsilon}{2}$. Поскольку $\frac{|a|}{|a|+1} < 1$, то итоговое выражение меньше, чем $\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Основные свойства — это правила для вычисления пределов суммы, разности, произведения и частного последовательностей. Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения — произведению пределов, предел частного — частному пределов (если предел знаменателя не ноль).