Номер 6.26, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.26. Найдите предел:

1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{\cos x} - 1}{x^2}$;

2) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}}{\sin^2 x}$;

3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - 1}{\sin x}$;

4) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sqrt{\sin x}}{\sqrt{1 + \cos x} - 1}$.

1) Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} - 1}{x^2} $.
При $ x \to 0 $, $\cos x \to 1$, поэтому мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.
Чтобы раскрыть неопределенность, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на $ \sqrt{\cos x} + 1 $:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{\cos x} - 1)(\sqrt{\cos x} + 1)}{x^2(\sqrt{\cos x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2(\sqrt{\cos x} + 1)} $
Разделим предел на произведение двух пределов:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{\cos x} + 1} $
Первый предел является следствием второго замечательного предела. Преобразуем его: $ \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1 - \cos x}{x^2} = -\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} = -\frac{1}{2} \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 $.
Так как $ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $, то $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2} $.
Второй предел находится прямой подстановкой:
$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{\cos x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{\cos 0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} $.
Перемножая результаты, получаем:
$ -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} $.
Ответ: $ -\frac{1}{4} $.

2) Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}}{\sin^2 x} $.
При $ x \to 0 $, $\cos x \to 1$ и $\sin x \to 0$, поэтому мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на $ \sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos x} $:
$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x})(\sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos x})}{\sin^2 x (\sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2 - (1 + \cos x)}{\sin^2 x (\sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x (\sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos x})} $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) $.
$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(\sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos x})} $
Так как $ x \to 0 $, то $ x \ne 0 $, и $ \cos x \ne 1 $, поэтому можно сократить на $ 1 - \cos x $:
$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \cos x)(\sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos x})} $
Теперь подставим предельное значение $ x = 0 $:
$ \frac{1}{(1 + \cos 0)(\sqrt{2} + \sqrt{1 + \cos 0})} = \frac{1}{(1 + 1)(\sqrt{2} + \sqrt{1 + 1})} = \frac{1}{2(\sqrt{2} + \sqrt{2})} = \frac{1}{2(2\sqrt{2})} = \frac{1}{4\sqrt{2}} $
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \frac{1}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{8} $.

3) Найдем предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - 1}{\sin x} $.
При $ x \to 0 $, $\sin x \to 0$, поэтому мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $. Когда $ x \to 0 $, $ t \to 0 $.
Предел принимает вид:
$ \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 + t} - 1}{t} $
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{1 + t} + 1 $:
$ \lim_{t \to 0} \frac{(\sqrt{1 + t} - 1)(\sqrt{1 + t} + 1)}{t(\sqrt{1 + t} + 1)} = \lim_{t \to 0} \frac{(1 + t) - 1}{t(\sqrt{1 + t} + 1)} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{t(\sqrt{1 + t} + 1)} $
Сокращаем на $ t $ (так как $ t \ne 0 $):
$ \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + t} + 1} $
Подставляем $ t = 0 $:
$ \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) Найдем предел $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sqrt{\sin x}}{\sqrt{1 + \cos x} - 1} $.
При $ x \to \frac{\pi}{2} $, $\sin x \to 1$ и $\cos x \to 0$, поэтому мы имеем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = x - \frac{\pi}{2} $. Тогда $ x = t + \frac{\pi}{2} $, и при $ x \to \frac{\pi}{2} $, $ t \to 0 $.
Используем формулы приведения: $ \sin x = \sin(t + \frac{\pi}{2}) = \cos t $ и $ \cos x = \cos(t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t $.
Предел принимает вид:
$ \lim_{t \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos t}}{\sqrt{1 - \sin t} - 1} $
Это снова неопределенность $ \frac{0}{0} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения для числителя и знаменателя: $ (1 + \sqrt{\cos t}) $ и $ (\sqrt{1 - \sin t} + 1) $ соответственно.
$ \lim_{t \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos t})(1 + \sqrt{\cos t})}{(\sqrt{1 - \sin t} - 1)(\sqrt{1 - \sin t} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{1 - \sin t} + 1}{1 + \sqrt{\cos t}} $
$ = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{(1 - \sin t) - 1} \cdot \frac{\sqrt{1 - \sin t} + 1}{1 + \sqrt{\cos t}} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{-\sin t} \cdot \frac{\sqrt{1 - \sin t} + 1}{1 + \sqrt{\cos t}} $
Вычислим предел второго множителя подстановкой $ t=0 $:
$ \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{1 - \sin t} + 1}{1 + \sqrt{\cos t}} = \frac{\sqrt{1 - 0} + 1}{1 + \sqrt{1}} = \frac{1+1}{1+1} = 1 $.
Теперь найдем предел первого множителя $ \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{-\sin t} $.
Используем эквивалентные бесконечно малые при $ t \to 0 $: $ 1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2} $ и $ \sin t \sim t $.
$ \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{-\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2/2}{-t} = \lim_{t \to 0} \left(-\frac{t}{2}\right) = 0 $.
Итоговый предел равен произведению найденных пределов: $ 0 \cdot 1 = 0 $.
Ответ: $ 0 $.