Номер 6.19, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.19. 1) $lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{x - \frac{\pi}{3}};$

2) $lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4} + x\right)}{4x + \pi};$

3) $lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\operatorname{ctg} \frac{\pi x}{2}};$

4) $lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{1 - 2 \cos x}.$

1) Найдем предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{3})}{x - \frac{\pi}{3}}$.
Это предел вида $\frac{0}{0}$. Мы можем использовать первый замечательный предел $\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$.
Когда $x \to \frac{\pi}{3}$, то $t \to \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 0$.
Подставляя новую переменную, получаем:
$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$.
Ответ: $1$

2) Найдем предел $\lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + x)}{4x + \pi}$.
При подстановке $x = -\frac{\pi}{4}$ в числитель и знаменатель получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
$ \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \sin 0 = 0 $
$ 4(-\frac{\pi}{4}) + \pi = -\pi + \pi = 0 $
Преобразуем знаменатель, чтобы выделить выражение, совпадающее с аргументом синуса:
$ 4x + \pi = 4(x + \frac{\pi}{4}) $
Тогда предел можно переписать в виде:
$\lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4})}{4(x + \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{4} \lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4})}{x + \frac{\pi}{4}}$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Когда $x \to -\frac{\pi}{4}$, то $t \to 0$.
Предел принимает вид:
$\frac{1}{4} \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\text{ctg} \frac{\pi x}{2}}$.
При подстановке $x=1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1-1=0$ и $\text{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - 1$, тогда $x = t + 1$. Когда $x \to 1$, то $t \to 0$.
Предел принимает вид:
$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\text{ctg} \frac{\pi(t+1)}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\text{ctg}(\frac{\pi t}{2} + \frac{\pi}{2})}$
Используем формулу приведения $\text{ctg}(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\text{tg} \alpha$:
$\lim_{t \to 0} \frac{t}{-\text{tg}(\frac{\pi t}{2})} = -\lim_{t \to 0} \frac{t}{\text{tg}(\frac{\pi t}{2})}$
Теперь воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых: при $u \to 0$, $\text{tg} u \sim u$. В нашем случае $u = \frac{\pi t}{2}$.
$-\lim_{t \to 0} \frac{t}{\frac{\pi t}{2}} = -\lim_{t \to 0} \frac{2t}{\pi t} = -\frac{2}{\pi}$.
Другой способ - использовать предел $\lim_{u \to 0} \frac{\text{tg} u}{u} = 1$:
$-\lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\text{tg}(\frac{\pi t}{2})}{t}} = -\lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\text{tg}(\frac{\pi t}{2})}{\frac{\pi t}{2}} \cdot \frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{1 \cdot \frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}$.
Ответ: $-\frac{2}{\pi}$

4) Найдем предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin(x - \frac{\pi}{3})}{1 - 2 \cos x}$.
При подстановке $x = \frac{\pi}{3}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = \sin 0 = 0$ и $1 - 2\cos\frac{\pi}{3} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$, тогда $x = t + \frac{\pi}{3}$. Когда $x \to \frac{\pi}{3}$, то $t \to 0$.
Предел принимает вид:
$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3})}$
Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$ для знаменателя:
$1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3}) = 1 - 2(\cos t \cos\frac{\pi}{3} - \sin t \sin\frac{\pi}{3}) = 1 - 2(\cos t \cdot \frac{1}{2} - \sin t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t$.
Предел становится:
$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t}$
Применим формулы половинного угла: $\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$ и $1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$.
$\lim_{t \to 0} \frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2} + \sqrt{3} \cdot 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}$
Вынесем общий множитель $2\sin\frac{t}{2}$ в знаменателе:
$\lim_{t \to 0} \frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}(\sin\frac{t}{2} + \sqrt{3}\cos\frac{t}{2})}$
Сократим на $2\sin\frac{t}{2}$ (поскольку $t \to 0$, но $t \neq 0$):
$\lim_{t \to 0} \frac{\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2} + \sqrt{3}\cos\frac{t}{2}}$
Теперь подставим $t = 0$:
$\frac{\cos 0}{\sin 0 + \sqrt{3}\cos 0} = \frac{1}{0 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$