Номер 6.16, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.16. 1) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - 5x + 6}$;

2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}$;

3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{5x^2 - 12x + 4}$;

4) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 10}{25 - 5x - 3x^2}$.

1) Для нахождения предела рациональной функции при $x \to -\infty$, когда степени числителя и знаменателя равны, необходимо разделить каждый член числителя и знаменателя на $x$ в наивысшей степени. В данном случае это $x^2$.

$ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{6}{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}} $

При $x \to -\infty$, значения выражений $\frac{2}{x}$, $\frac{3}{x^2}$, $\frac{5}{x}$ и $\frac{6}{x^2}$ стремятся к нулю.

Подставив эти значения, получаем:

$ \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0 + 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x$. Коэффициенты при $x^2$ равны 1 и 1, следовательно, предел равен $1/1 = 1$.

Ответ: $1$

2) В данном случае степени многочленов в числителе и знаменателе также равны (обе равны 2). Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} $

При $x \to +\infty$, выражения $\frac{3}{x}$, $\frac{2}{x^2}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю.

Подставляем нулевые значения в предел:

$ \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Предел также можно найти как отношение коэффициентов при старших степенях: $1/1 = 1$.

Ответ: $1$

3) Степени числителя и знаменателя равны 2. Для нахождения предела делим каждый член на $x^2$.

$ \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{5x^2 - 12x + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{12x}{x^2} + \frac{4}{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}}{5 - \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2}} $

При $x \to -\infty$, выражения $\frac{5}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{12}{x}$ и $\frac{4}{x^2}$ стремятся к нулю.

Таким образом, предел равен:

$ \frac{3 + 0 - 0}{5 - 0 + 0} = \frac{3}{5} $

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x^2$: $3/5$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

4) Степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 10}{25 - 5x - 3x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{10}{x^2}}{\frac{25}{x^2} - \frac{5x}{x^2} - \frac{3x^2}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{10}{x^2}}{\frac{25}{x^2} - \frac{5}{x} - 3} $

При $x \to +\infty$, выражения $\frac{10}{x^2}$, $\frac{25}{x^2}$ и $\frac{5}{x}$ стремятся к нулю.

Вычисляем значение предела:

$ \frac{2 + 0}{0 - 0 - 3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} $

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $x^2$: $2/(-3) = -2/3$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$