Номер 6.10, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.10. Покажите, что данная функция не имеет предела при $x \to 2$. Найдите значения $f(2 - 0)$, $f(2 + 0)$ и $f(2)$:

1) $f(x) = [x]$;

2) $f(x) = \{x\}$. Какой вывод можно сделать?

1) Рассмотрим функцию $f(x) = [x]$, где $[x]$ – целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Для того чтобы показать, что предел функции при $x \to 2$ не существует, необходимо найти односторонние пределы и убедиться, что они не равны.

Найдем левосторонний предел (значение $f(2-0)$):$f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} [x]$.Когда $x$ стремится к 2 слева, $x$ принимает значения, меньшие 2 (например, 1.9, 1.99, 1.999). Для любого такого $x$ из промежутка $1 \le x < 2$, целая часть $[x]$ равна 1.Следовательно, $f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} [x] = 1$.

Найдем правосторонний предел (значение $f(2+0)$):$f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} [x]$.Когда $x$ стремится к 2 справа, $x$ принимает значения, большие 2 (например, 2.1, 2.01, 2.001). Для любого такого $x$ из промежутка $2 \le x < 3$, целая часть $[x]$ равна 2.Следовательно, $f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} [x] = 2$.

Поскольку левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($2$), то предел функции $f(x) = [x]$ при $x \to 2$ не существует.

Найдем значение функции в точке $x=2$:$f(2) = [2] = 2$.

Ответ: $f(2-0) = 1$, $f(2+0) = 2$, $f(2) = 2$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \{x\}$, где $\{x\}$ – дробная часть числа $x$. Дробная часть определяется как $\{x\} = x - [x]$.

Аналогично первому пункту, найдем односторонние пределы.

Найдем левосторонний предел (значение $f(2-0)$):$f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} \{x\} = \lim_{x \to 2-0} (x - [x])$.Когда $x$ стремится к 2 слева, $x < 2$ и, следовательно, $[x] = 1$.Тогда, $f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.

Найдем правосторонний предел (значение $f(2+0)$):$f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} \{x\} = \lim_{x \to 2+0} (x - [x])$.Когда $x$ стремится к 2 справа, $x > 2$ и, следовательно, $[x] = 2$.Тогда, $f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} (x - 2) = 2 - 2 = 0$.

Поскольку левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($0$), то предел функции $f(x) = \{x\}$ при $x \to 2$ не существует.

Найдем значение функции в точке $x=2$:$f(2) = \{2\} = 2 - [2] = 2 - 2 = 0$.

Ответ: $f(2-0) = 1$, $f(2+0) = 0$, $f(2) = 0$.

Какой вывод можно сделать?

Основной вывод заключается в следующем: предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой её левосторонний и правосторонний пределы в этой точке. В обоих рассмотренных примерах мы показали, что односторонние пределы в точке $x=2$ существуют и конечны, но не равны друг другу:
Для $f(x)=[x]$: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1 \ne \lim_{x \to 2+0} f(x) = 2$.
Для $f(x)=\{x\}$: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1 \ne \lim_{x \to 2+0} f(x) = 0$.
Именно это неравенство односторонних пределов является причиной того, что двусторонний предел $\lim_{x \to 2} f(x)$ не существует для обеих функций. Точки, в которых односторонние пределы конечны, но не равны, называются точками разрыва первого рода (или "скачком").