Номер 6.8, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.8. Найдите вертикальные и горизонтальные асимптоты функции:

1) $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$

2) $f(x) = 2 + \frac{3}{x-4}$

3) $f(x) = \frac{5}{x+2} - 3$

1) $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$

Вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота графика функции — это прямая $x=a$, если при приближении $x$ к $a$ (справа или слева) значение функции $f(x)$ стремится к бесконечности. Для рациональных функций вертикальные асимптоты находятся в точках, где знаменатель обращается в ноль, а числитель при этом не равен нулю.

Найдем нули знаменателя:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Проверим значение числителя в этой точке: $x - 2 = -1 - 2 = -3$. Так как числитель не равен нулю, прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=b$, к которой стремится график функции при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$. Для ее нахождения нужно вычислить предел функции на бесконечности.

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x+1}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

Поскольку при $x \to \pm\infty$ члены $\frac{2}{x}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

Следовательно, прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -1$; горизонтальная асимптота: $y = 1$.

2) $f(x) = 2 + \frac{3}{x-4}$

Вертикальные асимптоты:

Найдем точку, в которой знаменатель дроби обращается в ноль:

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

В этой точке функция не определена и ее предел равен бесконечности:

$\lim_{x \to 4} (2 + \frac{3}{x-4}) = 2 + \frac{3}{\pm 0} = \pm\infty$

Таким образом, прямая $x = 4$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (2 + \frac{3}{x-4})$

При $x \to \pm\infty$ значение дроби $\frac{3}{x-4}$ стремится к нулю. Следовательно, предел равен:

$2 + 0 = 2$

Прямая $y = 2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 4$; горизонтальная асимптота: $y = 2$.

3) $f(x) = \frac{5}{x+2} - 3$

Вертикальные асимптоты:

Найдем точку, в которой знаменатель дроби обращается в ноль:

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

В этой точке функция не определена и ее предел равен бесконечности:

$\lim_{x \to -2} (\frac{5}{x+2} - 3) = \frac{5}{\pm 0} - 3 = \pm\infty$

Таким образом, прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{5}{x+2} - 3)$

При $x \to \pm\infty$ значение дроби $\frac{5}{x+2}$ стремится к нулю. Следовательно, предел равен:

$0 - 3 = -3$

Прямая $y = -3$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -2$; горизонтальная асимптота: $y = -3$.