Страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.6. Для заданной функции $y = f(x)$ найдите значения односторонних пределов $f(a - 0)$, $f(a + 0)$ в указанной точке $x = a$ и сравните их со значением $f(a)$:

1) $f(x) = x^2 - 3x + 1$, $a = 1$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $a = -3$.

1) Для функции $f(x) = x^2 - 3x + 1$ и точки $a = 1$.

Сначала найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.

Теперь найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 слева, то есть $x \to 1-0$):

$f(1-0) = \lim_{x \to 1-0} (x^2 - 3x + 1)$.

Так как данная функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой. Для непрерывных функций предел в точке равен значению функции в этой точке. Поэтому мы можем просто подставить значение $x=1$ в функцию:

$f(1-0) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1$.

Правосторонний предел (когда $x$ стремится к 1 справа, то есть $x \to 1+0$):

$f(1+0) = \lim_{x \to 1+0} (x^2 - 3x + 1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1$.

Сравнивая значения, получаем: $f(1-0) = f(1+0) = f(1) = -1$. Это подтверждает, что функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: $f(1-0) = -1$, $f(1+0) = -1$, $f(1) = -1$. Все три значения равны.

2) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x+3}$ и точки $a = -3$.

Сначала попробуем найти значение функции в точке $a=-3$:

$f(-3) = \frac{(-3)^2 - 9}{-3+3} = \frac{9-9}{0} = \frac{0}{0}$.

Получилась неопределенность. Это означает, что функция в точке $x=-3$ не определена, так как происходит деление на ноль.

Теперь найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел (когда $x \to -3-0$):

$f(-3-0) = \lim_{x \to -3-0} \frac{x^2 - 9}{x+3}$.

Чтобы раскрыть неопределенность, упростим выражение, разложив числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{x^2 - 9}{x+3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.

Поскольку при вычислении предела мы рассматриваем значения $x$, близкие к $-3$, но не равные $-3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$\lim_{x \to -3-0} (x-3) = -3 - 3 = -6$.

Правосторонний предел (когда $x \to -3+0$):

$f(-3+0) = \lim_{x \to -3+0} \frac{x^2 - 9}{x+3} = \lim_{x \to -3+0} (x-3) = -3 - 3 = -6$.

Сравнивая значения, получаем: $f(-3-0) = -6$ и $f(-3+0) = -6$. Односторонние пределы существуют и равны друг другу. Однако значение функции $f(-3)$ не определено. Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Ответ: $f(-3-0) = -6$, $f(-3+0) = -6$, а значение $f(-3)$ не определено. Односторонние пределы равны между собой, но не равны значению функции в точке, так как оно не существует.

6.7. Покажите, что при $x \to 1$ функция $f(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x < 1, \\ x - 1, \text{ если } x \ge 1 \end{cases}$ не имеет предела. Найдите односторонние пределы $f(1 - 0)$, $f(1 + 0)$ и сравните их с $f(1)$.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 1 \\ x-1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Покажите, что при $x \to 1$ функция $f(x)$ не имеет предела.

Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы. Найдем эти пределы для данной функции в точке $x=1$.
Левосторонний предел (при $x \to 1-$) вычисляется на интервале $x < 1$, где $f(x) = 1$:
$\lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1-} 1 = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to 1+$) вычисляется на интервале $x > 1$, где $f(x) = x-1$:
$\lim_{x \to 1+} f(x) = \lim_{x \to 1+} (x-1) = 1-1 = 0$.
Поскольку левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($0$), то есть $\lim_{x \to 1-} f(x) \ne \lim_{x \to 1+} f(x)$, двусторонний предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует, что и требовалось доказать.

Найдите односторонние пределы $f(1-0)$, $f(1+0)$ и сравните их с $f(1)$.

Как было вычислено выше, односторонние пределы равны:
Левосторонний предел: $f(1-0) = \lim_{x \to 1-} f(x) = 1$.
Правосторонний предел: $f(1+0) = \lim_{x \to 1+} f(x) = 0$.

Теперь найдем значение функции в точке $x=1$. Согласно определению функции, при $x \ge 1$ (что включает $x=1$) используется формула $f(x) = x-1$.
$f(1) = 1-1 = 0$.

Проведем сравнение найденных величин:
Сравнение со значением функции:
$f(1-0) \ne f(1)$, так как $1 \ne 0$.
$f(1+0) = f(1)$, так как $0 = 0$.

Ответ: Односторонние пределы функции в точке $x=1$ равны $f(1-0) = 1$ и $f(1+0) = 0$. Поскольку они не равны, предел функции $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует. Значение функции в этой точке $f(1) = 0$. Сравнение показывает, что правосторонний предел равен значению функции в точке ($f(1+0) = f(1)$), а левосторонний предел ему не равен ($f(1-0) \ne f(1)$).

6.8. Найдите вертикальные и горизонтальные асимптоты функции:

1) $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$

2) $f(x) = 2 + \frac{3}{x-4}$

3) $f(x) = \frac{5}{x+2} - 3$

1) $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$

Вертикальные асимптоты:

Вертикальная асимптота графика функции — это прямая $x=a$, если при приближении $x$ к $a$ (справа или слева) значение функции $f(x)$ стремится к бесконечности. Для рациональных функций вертикальные асимптоты находятся в точках, где знаменатель обращается в ноль, а числитель при этом не равен нулю.

Найдем нули знаменателя:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Проверим значение числителя в этой точке: $x - 2 = -1 - 2 = -3$. Так как числитель не равен нулю, прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Горизонтальная асимптота — это прямая $y=b$, к которой стремится график функции при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$. Для ее нахождения нужно вычислить предел функции на бесконечности.

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x+1}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$

Поскольку при $x \to \pm\infty$ члены $\frac{2}{x}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

Следовательно, прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -1$; горизонтальная асимптота: $y = 1$.

2) $f(x) = 2 + \frac{3}{x-4}$

Вертикальные асимптоты:

Найдем точку, в которой знаменатель дроби обращается в ноль:

$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

В этой точке функция не определена и ее предел равен бесконечности:

$\lim_{x \to 4} (2 + \frac{3}{x-4}) = 2 + \frac{3}{\pm 0} = \pm\infty$

Таким образом, прямая $x = 4$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (2 + \frac{3}{x-4})$

При $x \to \pm\infty$ значение дроби $\frac{3}{x-4}$ стремится к нулю. Следовательно, предел равен:

$2 + 0 = 2$

Прямая $y = 2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 4$; горизонтальная асимптота: $y = 2$.

3) $f(x) = \frac{5}{x+2} - 3$

Вертикальные асимптоты:

Найдем точку, в которой знаменатель дроби обращается в ноль:

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

В этой точке функция не определена и ее предел равен бесконечности:

$\lim_{x \to -2} (\frac{5}{x+2} - 3) = \frac{5}{\pm 0} - 3 = \pm\infty$

Таким образом, прямая $x = -2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты:

Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{5}{x+2} - 3)$

При $x \to \pm\infty$ значение дроби $\frac{5}{x+2}$ стремится к нулю. Следовательно, предел равен:

$0 - 3 = -3$

Прямая $y = -3$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = -2$; горизонтальная асимптота: $y = -3$.

6.9. Найдите вертикальные и наклонные асимптоты функции:

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x+1}$.

1) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

Вертикальные асимптоты.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция не определена в точке $x=0$. Это точка разрыва.
Найдем односторонние пределы функции при приближении к этой точке:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (-\infty) = -\infty$
Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Ищем наклонную асимптоту в виде прямой $y = kx + b$. Коэффициенты $k$ и $b$ находятся по формулам:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$
Найдем коэффициент $k$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1 + 0 = 1$
Теперь найдем коэффициент $b$:
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты $y = 1 \cdot x + 0$, то есть $y=x$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - x + 2}{x + 1}$

Вертикальные асимптоты.
Функция не определена при $x+1=0$, то есть в точке $x=-1$. Это точка разрыва.
Найдем односторонние пределы. При $x \to -1$, числитель $x^2 - x + 2 \to (-1)^2 - (-1) + 2 = 4$.
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} = \frac{4}{0^+} = +\infty$
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 - x + 2}{x + 1} = \frac{4}{0^-} = -\infty$
Поскольку пределы бесконечны, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Ищем наклонную асимптоту в виде $y = kx + b$.
Найдем коэффициент $k$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x + 2}{x(x+1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 + x}$
Разделим числитель и знаменатель на $x^2$:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1-0+0}{1+0} = 1$
Найдем коэффициент $b$:
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2-x+2}{x+1} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-x+2-x(x+1)}{x+1}$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-x+2-x^2-x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x+2}{x+1}$
Разделим числитель и знаменатель на $x$:
$b = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2 + \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{-2+0}{1+0} = -2$
Уравнение наклонной асимптоты: $y = 1 \cdot x - 2$, то есть $y=x-2$.
Альтернативный способ: Выделим целую часть дроби с помощью деления многочленов столбиком:
$f(x) = \frac{x^2-x+2}{x+1} = x - 2 + \frac{4}{x+1}$.
Поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x+1} = 0$, то функция $f(x)$ стремится к $x-2$. Таким образом, $y=x-2$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-1$, наклонная асимптота $y=x-2$.

6.10. Покажите, что данная функция не имеет предела при $x \to 2$. Найдите значения $f(2 - 0)$, $f(2 + 0)$ и $f(2)$:

1) $f(x) = [x]$;

2) $f(x) = \{x\}$. Какой вывод можно сделать?

1) Рассмотрим функцию $f(x) = [x]$, где $[x]$ – целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Для того чтобы показать, что предел функции при $x \to 2$ не существует, необходимо найти односторонние пределы и убедиться, что они не равны.

Найдем левосторонний предел (значение $f(2-0)$):$f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} [x]$.Когда $x$ стремится к 2 слева, $x$ принимает значения, меньшие 2 (например, 1.9, 1.99, 1.999). Для любого такого $x$ из промежутка $1 \le x < 2$, целая часть $[x]$ равна 1.Следовательно, $f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} [x] = 1$.

Найдем правосторонний предел (значение $f(2+0)$):$f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} [x]$.Когда $x$ стремится к 2 справа, $x$ принимает значения, большие 2 (например, 2.1, 2.01, 2.001). Для любого такого $x$ из промежутка $2 \le x < 3$, целая часть $[x]$ равна 2.Следовательно, $f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} [x] = 2$.

Поскольку левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($2$), то предел функции $f(x) = [x]$ при $x \to 2$ не существует.

Найдем значение функции в точке $x=2$:$f(2) = [2] = 2$.

Ответ: $f(2-0) = 1$, $f(2+0) = 2$, $f(2) = 2$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \{x\}$, где $\{x\}$ – дробная часть числа $x$. Дробная часть определяется как $\{x\} = x - [x]$.

Аналогично первому пункту, найдем односторонние пределы.

Найдем левосторонний предел (значение $f(2-0)$):$f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} \{x\} = \lim_{x \to 2-0} (x - [x])$.Когда $x$ стремится к 2 слева, $x < 2$ и, следовательно, $[x] = 1$.Тогда, $f(2-0) = \lim_{x \to 2-0} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.

Найдем правосторонний предел (значение $f(2+0)$):$f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} \{x\} = \lim_{x \to 2+0} (x - [x])$.Когда $x$ стремится к 2 справа, $x > 2$ и, следовательно, $[x] = 2$.Тогда, $f(2+0) = \lim_{x \to 2+0} (x - 2) = 2 - 2 = 0$.

Поскольку левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($0$), то предел функции $f(x) = \{x\}$ при $x \to 2$ не существует.

Найдем значение функции в точке $x=2$:$f(2) = \{2\} = 2 - [2] = 2 - 2 = 0$.

Ответ: $f(2-0) = 1$, $f(2+0) = 0$, $f(2) = 0$.

Какой вывод можно сделать?

Основной вывод заключается в следующем: предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны между собой её левосторонний и правосторонний пределы в этой точке. В обоих рассмотренных примерах мы показали, что односторонние пределы в точке $x=2$ существуют и конечны, но не равны друг другу:
Для $f(x)=[x]$: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1 \ne \lim_{x \to 2+0} f(x) = 2$.
Для $f(x)=\{x\}$: $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1 \ne \lim_{x \to 2+0} f(x) = 0$.
Именно это неравенство односторонних пределов является причиной того, что двусторонний предел $\lim_{x \to 2} f(x)$ не существует для обеих функций. Точки, в которых односторонние пределы конечны, но не равны, называются точками разрыва первого рода (или "скачком").

В упражнениях 6.11–6.19 найдите пределы.

6.11. 1)

$lim_{x\to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6};$

2) $lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 4};$

3) $lim_{x\to -2} \frac{3x^2 + 5x - 2}{5x^2 + 12x + 4};$

4) $lim_{x\to 0.5} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 15x + 7.25}.$

1) $\lim_{x\to3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6}$

При подстановке $x=3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3^2 - 2 \cdot 3 - 3}{3^2 - 5 \cdot 3 + 6} = \frac{9 - 6 - 3}{9 - 15 + 6} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни соответствующих квадратных трехчленов.

Для числителя $x^2 - 2x - 3$: корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ это $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Таким образом, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.

Для знаменателя $x^2 - 5x + 6$: корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ это $x_1 = 3$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x-3)(x-2)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to3} \frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-2)}$

Поскольку $x \to 3$, то $x \neq 3$, поэтому мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$\lim_{x\to3} \frac{x+1}{x-2} = \frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4.

2) $\lim_{x\to1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 5x + 4}$

При подстановке $x=1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1^2 - 5 \cdot 1 + 4} = \frac{1 - 3 + 2}{1 - 5 + 4} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $x^2 - 3x + 2$: корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Для знаменателя $x^2 - 5x + 4$: корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to1} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-4)}$

Сократим дробь на $(x-1)$:

$\lim_{x\to1} \frac{x-2}{x-4} = \frac{1-2}{1-4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) $\lim_{x\to-2} \frac{3x^2 + 5x - 2}{5x^2 + 12x + 4}$

При подстановке $x=-2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{3(-2)^2 + 5(-2) - 2}{5(-2)^2 + 12(-2) + 4} = \frac{3 \cdot 4 - 10 - 2}{5 \cdot 4 - 24 + 4} = \frac{12 - 12}{24 - 24} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $3x^2 + 5x - 2$: корни уравнения $3x^2 + 5x - 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{1}{3}$. Таким образом, $3x^2 + 5x - 2 = 3(x+2)(x-\frac{1}{3}) = (x+2)(3x-1)$.

Для знаменателя $5x^2 + 12x + 4$: корни уравнения $5x^2 + 12x + 4 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = -\frac{2}{5}$. Таким образом, $5x^2 + 12x + 4 = 5(x+2)(x+\frac{2}{5}) = (x+2)(5x+2)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to-2} \frac{(x+2)(3x-1)}{(x+2)(5x+2)}$

Сократим дробь на $(x+2)$:

$\lim_{x\to-2} \frac{3x-1}{5x+2} = \frac{3(-2)-1}{5(-2)+2} = \frac{-6-1}{-10+2} = \frac{-7}{-8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$.

4) $\lim_{x\to0.5} \frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 15x + 7.25}$

При подстановке $x=0.5$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{2(0.5)^2 + 5(0.5) - 3}{(0.5)^2 - 15(0.5) + 7.25} = \frac{2 \cdot 0.25 + 2.5 - 3}{0.25 - 7.5 + 7.25} = \frac{0.5 + 2.5 - 3}{7.5 - 7.5} = \frac{0}{0}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $2x^2 + 5x - 3$: корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$ это $x_1 = 0.5$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $2x^2 + 5x - 3 = 2(x-0.5)(x+3)$.

Для знаменателя $x^2 - 15x + 7.25$: корни уравнения $x^2 - 15x + 7.25 = 0$ это $x_1 = 0.5$ и $x_2 = 14.5$. Таким образом, $x^2 - 15x + 7.25 = (x-0.5)(x-14.5)$.

Подставим разложенные многочлены в предел:

$\lim_{x\to0.5} \frac{2(x-0.5)(x+3)}{(x-0.5)(x-14.5)}$

Сократим дробь на $(x-0.5)$:

$\lim_{x\to0.5} \frac{2(x+3)}{x-14.5} = \frac{2(0.5+3)}{0.5-14.5} = \frac{2 \cdot 3.5}{-14} = \frac{7}{-14} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

6.12. 1)

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 + 3x + 2}$;

2) $\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6x^2 - 5x + 1}{27x^3 - 1}$;

3) $\lim_{x \to 1.5} \frac{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}{4x^2 - 12x + 9}$;

4) $\lim_{x \to 0.5} \frac{4x^3 - 8x^2 + 5x - 1}{4x^3 - 3x + 1}$.

1)Найдем предел $ \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 + 3x + 2} $.При прямой подстановке предельного значения $ x = -1 $ в выражение под знаком предела получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Проверим это:Числитель: $ (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0 $.Знаменатель: $ (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 $.Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $ x = -1 $ является корнем для обоих многочленов, то каждый из них делится на $ (x - (-1)) = (x + 1) $.Разложим числитель:$ x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x + 1) - 1(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2 $.Разложим знаменатель:$ x^2 + 3x + 2 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = -2 $.Следовательно, $ x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2) $.Подставим разложения в исходный предел и сократим общий множитель $ (x + 1) $:$ \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)^2}{(x + 1)(x + 2)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 2} $.Теперь выполним подстановку $ x = -1 $:$ \frac{(-1 - 1)(-1 + 1)}{-1 + 2} = \frac{-2 \cdot 0}{1} = 0 $.Ответ: $0$.

2)Найдем предел $ \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6x^2 - 5x + 1}{27x^3 - 1} $.При прямой подстановке $ x = 1/3 $ получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Числитель: $ 6(\frac{1}{3})^2 - 5(\frac{1}{3}) + 1 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{5}{3} + 1 = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} + \frac{3}{3} = 0 $.Знаменатель: $ 27(\frac{1}{3})^3 - 1 = 27(\frac{1}{27}) - 1 = 1 - 1 = 0 $.Разложим числитель и знаменатель на множители. Общим множителем будет $ (x - 1/3) $ или $ (3x - 1) $.Разложим числитель $ 6x^2 - 5x + 1 $. Корни квадратного уравнения $ 6x^2 - 5x + 1 = 0 $ равны $ x_1 = \frac{1}{3} $ и $ x_2 = \frac{1}{2} $.Следовательно, $ 6x^2 - 5x + 1 = 6(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2}) = 3(x - \frac{1}{3}) \cdot 2(x - \frac{1}{2}) = (3x - 1)(2x - 1) $.Разложим знаменатель, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:$ 27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x - 1)((3x)^2 + 3x \cdot 1 + 1^2) = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) $.Подставим разложения в предел и сократим на $ (3x - 1) $:$ \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{(3x - 1)(2x - 1)}{(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{2x - 1}{9x^2 + 3x + 1} $.Теперь выполним подстановку $ x = 1/3 $:$ \frac{2(\frac{1}{3}) - 1}{9(\frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{3}) + 1} = \frac{\frac{2}{3} - 1}{9 \cdot \frac{1}{9} + 1 + 1} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 + 1 + 1} = \frac{-\frac{1}{3}}{3} = -\frac{1}{9} $.Ответ: $-\frac{1}{9}$.

3)Найдем предел $ \lim_{x \to 1,5} \frac{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}{4x^2 - 12x + 9} $.При подстановке $ x = 1,5 = 3/2 $ получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $.Числитель: $ 8(\frac{3}{2})^3 - 36(\frac{3}{2})^2 + 54(\frac{3}{2}) - 27 = 8 \cdot \frac{27}{8} - 36 \cdot \frac{9}{4} + 27 \cdot 3 - 27 = 27 - 81 + 81 - 27 = 0 $.Знаменатель: $ 4(\frac{3}{2})^2 - 12(\frac{3}{2}) + 9 = 4 \cdot \frac{9}{4} - 18 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 $.Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что выражения в числителе и знаменателе являются формулами сокращенного умножения.Знаменатель - это квадрат разности: $ 4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2 $.Числитель - это куб разности: $ 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 - 3^3 = (2x - 3)^3 $.Подставим разложения в предел:$ \lim_{x \to 1,5} \frac{(2x - 3)^3}{(2x - 3)^2} = \lim_{x \to 1,5} (2x - 3) $.Теперь выполним подстановку $ x = 1,5 $:$ 2 \cdot 1,5 - 3 = 3 - 3 = 0 $.Ответ: $0$.

4)Найдем предел $ \lim_{x \to 0,5} \frac{4x^3 - 8x^2 + 5x - 1}{4x^3 - 3x + 1} $.При подстановке $ x = 0,5 = 1/2 $ получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $.Числитель: $ 4(\frac{1}{2})^3 - 8(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 1 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 8 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 1 = \frac{1}{2} - 2 + \frac{5}{2} - 1 = 3 - 3 = 0 $.Знаменатель: $ 4(\frac{1}{2})^3 - 3(\frac{1}{2}) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -1 + 1 = 0 $.Разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $ x = 1/2 $ является корнем для обоих многочленов, то $ (x - 1/2) $ или $ (2x - 1) $ является их общим множителем.Разложим числитель $ 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1 $. Заметим, что $ x = 1/2 $ является корнем кратности 2, т.к. производная $ 12x^2 - 16x + 5 $ также обращается в нуль при $ x = 1/2 $: $ 12(\frac{1}{4}) - 16(\frac{1}{2}) + 5 = 3 - 8 + 5 = 0 $.Факторизация числителя: $ 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1 = (2x - 1)^2(x - 1) $.Разложим знаменатель $ 4x^3 - 3x + 1 $. Аналогично, $ x = 1/2 $ является корнем кратности 2, т.к. производная $ 12x^2 - 3 $ также обращается в нуль при $ x = 1/2 $: $ 12(\frac{1}{4}) - 3 = 3 - 3 = 0 $.Факторизация знаменателя: $ 4x^3 - 3x + 1 = (2x - 1)^2(x + 1) $.Подставим разложения в предел:$ \lim_{x \to 0,5} \frac{(2x - 1)^2(x - 1)}{(2x - 1)^2(x + 1)} = \lim_{x \to 0,5} \frac{x - 1}{x + 1} $.Теперь выполним подстановку $ x = 0,5 $:$ \frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} = \frac{-0,5}{1,5} = -\frac{1}{3} $.Ответ: $-\frac{1}{3}$.

6.13. 1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$;

2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$;

3) $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x^3 - 8}$;

4) $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$.

1) Найдем предел $\lim_{x\to-1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$.

При подстановке $x = -1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $(-1)^3 + 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$.

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель на множители, используя формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1)$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в предел:

$\lim_{x\to-1} \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}$

Поскольку $x \to -1$, но $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+1)$:

$\lim_{x\to-1} (x^2 - x + 1)$

Теперь можно подставить значение $x = -1$ в полученное выражение, так как неопределенность устранена:

$(-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3

2) Найдем предел $\lim_{x\to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$.

При подстановке $x = 2$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $2^3 - 8 = 0$ и $2 - 2 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель на множители по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2}$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как $x \neq 2$:

$\lim_{x\to 2} (x^2 + 2x + 4)$

Подставим значение $x = 2$ в непрерывную функцию:

$2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: 12

3) Найдем предел $\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x^3 - 8}$.

В данном случае неопределенности нет. Проверим значения числителя и знаменателя при $x=8$.

Числитель: $\sqrt[3]{8} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Знаменатель: $8^3 - 8 = 512 - 8 = 504$.

Так как функция непрерывна в точке $x=8$ и знаменатель не равен нулю, предел равен значению функции в этой точке. Мы можем найти его прямой подстановкой.

$\lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x^3 - 8} = \frac{\sqrt[3]{8} - 2}{8^3 - 8} = \frac{2-2}{512-8} = \frac{0}{504} = 0$.

Ответ: 0

4) Найдем предел $\lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}$.

При подстановке $x = 1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $1 - 1 = 0$ и $\sqrt[3]{1} - 1 = 0$.

Чтобы раскрыть неопределенность, разложим числитель на множители как разность кубов, представив $x$ как $(\sqrt[3]{x})^3$.

Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt[3]{x}$ и $b=1$.

$x - 1 = (\sqrt[3]{x})^3 - 1^3 = (\sqrt[3]{x} - 1)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{x} - 1)(x^{2/3} + x^{1/3} + 1)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1)(x^{2/3} + x^{1/3} + 1)}{\sqrt[3]{x} - 1}$

Сократим дробь на $(\sqrt[3]{x} - 1)$, так как $x \neq 1$:

$\lim_{x\to 1} (x^{2/3} + x^{1/3} + 1)$

Подставим значение $x = 1$ в полученное выражение:

$1^{2/3} + 1^{1/3} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3