Номер 6.7, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.7. Покажите, что при $x \to 1$ функция $f(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x < 1, \\ x - 1, \text{ если } x \ge 1 \end{cases}$ не имеет предела. Найдите односторонние пределы $f(1 - 0)$, $f(1 + 0)$ и сравните их с $f(1)$.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 1 \\ x-1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Покажите, что при $x \to 1$ функция $f(x)$ не имеет предела.

Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы. Найдем эти пределы для данной функции в точке $x=1$.
Левосторонний предел (при $x \to 1-$) вычисляется на интервале $x < 1$, где $f(x) = 1$:
$\lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1-} 1 = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to 1+$) вычисляется на интервале $x > 1$, где $f(x) = x-1$:
$\lim_{x \to 1+} f(x) = \lim_{x \to 1+} (x-1) = 1-1 = 0$.
Поскольку левосторонний предел ($1$) не равен правостороннему пределу ($0$), то есть $\lim_{x \to 1-} f(x) \ne \lim_{x \to 1+} f(x)$, двусторонний предел $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует, что и требовалось доказать.

Найдите односторонние пределы $f(1-0)$, $f(1+0)$ и сравните их с $f(1)$.

Как было вычислено выше, односторонние пределы равны:
Левосторонний предел: $f(1-0) = \lim_{x \to 1-} f(x) = 1$.
Правосторонний предел: $f(1+0) = \lim_{x \to 1+} f(x) = 0$.

Теперь найдем значение функции в точке $x=1$. Согласно определению функции, при $x \ge 1$ (что включает $x=1$) используется формула $f(x) = x-1$.
$f(1) = 1-1 = 0$.

Проведем сравнение найденных величин:
Сравнение со значением функции:
$f(1-0) \ne f(1)$, так как $1 \ne 0$.
$f(1+0) = f(1)$, так как $0 = 0$.

Ответ: Односторонние пределы функции в точке $x=1$ равны $f(1-0) = 1$ и $f(1+0) = 0$. Поскольку они не равны, предел функции $\lim_{x \to 1} f(x)$ не существует. Значение функции в этой точке $f(1) = 0$. Сравнение показывает, что правосторонний предел равен значению функции в точке ($f(1+0) = f(1)$), а левосторонний предел ему не равен ($f(1-0) \ne f(1)$).