Номер 6.4, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.4. 1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{x}$;

2) $\lim_{x\to 0} \frac{3x}{\sin x}$;

3) $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x}$;

4) $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} 3x}{x}$.

1) Для вычисления предела $ \lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{x} $ воспользуемся первым замечательным пределом, который гласит, что $ \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.

Чтобы привести наш предел к этому стандартному виду, необходимо, чтобы аргумент синуса совпадал со знаменателем. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на 2:

$ \lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{2 \sin 2x}{2x} $

Вынесем константу 2 за знак предела, так как она не зависит от $x$:

$ 2 \lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{2x} $

Теперь сделаем замену переменной. Пусть $ u = 2x $. Поскольку $ x \to 0 $, то и $ u \to 0 $. Подставив новую переменную, получим:

$ 2 \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} $

Выражение под знаком предела теперь является первым замечательным пределом. Его значение равно 1. Таким образом, получаем:

$ 2 \cdot 1 = 2 $

Ответ: $2$

2) Рассмотрим предел $ \lim_{x\to0} \frac{3x}{\sin x} $.

Сначала вынесем постоянный множитель 3 за знак предела:

$ 3 \lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x} $

Предел $ \lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x} $ является следствием из первого замечательного предела. Его можно вычислить следующим образом:

$ \lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x\to0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x\to0} 1}{\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1 $

Подставляя это значение обратно в наше исходное выражение, находим итоговый ответ:

$ 3 \cdot 1 = 3 $

Ответ: $3$

3) Для нахождения предела $ \lim_{x\to0} \frac{\tg x}{x} $ воспользуемся определением тангенса: $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

Подставим это выражение в предел:

$ \lim_{x\to0} \frac{\tg x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x \cos x} $

Теперь мы можем разбить этот предел на произведение двух пределов, используя свойство пределов $ \lim(f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g $:

$ \lim_{x\to0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = \left(\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x}\right) $

Первый множитель — это первый замечательный предел, значение которого равно 1. Второй множитель вычисляется простой подстановкой значения $ x=0 $:

$ \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1 $

$ \lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Перемножая результаты, получаем итоговое значение предела:

$ 1 \cdot 1 = 1 $

Ответ: $1$

4) Рассмотрим предел $ \lim_{x\to0} \frac{\tg 3x}{x} $.

Этот предел похож на тот, что был в предыдущем пункте. Мы уже установили, что $ \lim_{u\to0} \frac{\tg u}{u} = 1 $. Чтобы использовать этот факт, нам нужно, чтобы аргумент тангенса совпадал со знаменателем. Для этого домножим числитель и знаменатель на 3:

$ \lim_{x\to0} \frac{\tg 3x}{x} = \lim_{x\to0} \frac{3 \tg 3x}{3x} $

Вынесем константу 3 за знак предела:

$ 3 \lim_{x\to0} \frac{\tg 3x}{3x} $

Произведем замену переменной. Пусть $ u = 3x $. Так как $ x \to 0 $, то и $ u \to 0 $. Предел принимает вид:

$ 3 \lim_{u\to0} \frac{\tg u}{u} $

Используя результат, полученный в пункте 3, мы знаем, что $ \lim_{u\to0} \frac{\tg u}{u} = 1 $. Тогда:

$ 3 \cdot 1 = 3 $

Ответ: $3$