Номер 6.3, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.3. 1) $ \lim_{x\to3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}; $

2) $ \lim_{x\to-1} \frac{x + 1}{x^2 - 1}; $

3) $ \lim_{x\to-1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}; $

4) $ \lim_{x\to0} \frac{x}{x - 2x^2}. $

1) Вычислим предел $\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$.
При подстановке предельного значения $x=3$ в выражение под знаком предела, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как числитель $3^2-9=0$ и знаменатель $3-3=0$.
Для раскрытия этой неопределенности необходимо упростить выражение. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:$x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$.
Тогда предел принимает вид:$\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$.
Поскольку $x$ стремится к 3, но не равен 3 ($x \ne 3$), то множитель $(x-3)$ не равен нулю, и мы можем сократить дробь на него:$\lim_{x\to3}(x+3)$.
Теперь мы можем подставить предельное значение $x=3$ в полученное выражение:$3+3=6$.
Ответ: 6

2) Вычислим предел $\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{x^2-1}$.
При подстановке $x=-1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:$\frac{-1+1}{(-1)^2-1} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Получаем следующий предел:$\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$.
Так как $x \to -1$, то $x \ne -1$, и можно сократить дробь на общий множитель $(x+1)$:$\lim_{x\to-1}\frac{1}{x-1}$.
Подставим $x=-1$ в полученное выражение:$\frac{1}{-1-1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Вычислим предел $\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}$.
При подстановке $x=-1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:$\frac{(-1)^3+1}{(-1)^2-1} = \frac{-1+1}{1-1} = \frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель раскладываем по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:$x^3+1 = (x+1)(x^2-x\cdot1+1^2) = (x+1)(x^2-x+1)$.
Знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов:$x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
Предел принимает вид:$\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x+1)}$.
Сокращаем дробь на $(x+1)$, так как $x \ne -1$:$\lim_{x\to-1}\frac{x^2-x+1}{x-1}$.
Теперь подставляем $x=-1$ в упрощенное выражение:$\frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{-1-1} = \frac{1+1+1}{-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$

4) Вычислим предел $\lim_{x\to0}\frac{x}{x-2x^2}$.
При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:$\frac{0}{0-2\cdot0^2} = \frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности вынесем в знаменателе общий множитель $x$ за скобки:$x-2x^2 = x(1-2x)$.
Получаем:$\lim_{x\to0}\frac{x}{x(1-2x)}$.
Поскольку $x \to 0$, то $x \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $x$:$\lim_{x\to0}\frac{1}{1-2x}$.
Теперь подставим $x=0$ в результирующее выражение:$\frac{1}{1-2\cdot0} = \frac{1}{1-0} = 1$.
Ответ: 1