Номер 6.5, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.5. 1) $ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{3-2x} $

2) $ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-1}{x^2+x+1} $

3) $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} $

4) $ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}} $

1) Для нахождения предела $\lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{3-2x}$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{3-2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{3}{x} - \frac{2x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{3}{x} - 2}$.
Так как при $x \to +\infty$, выражения $\frac{1}{x}$ и $\frac{3}{x}$ стремятся к нулю, то предел равен:
$\frac{1 - 0}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$.
Другой способ — это сравнение старших степеней многочленов. Степени числителя и знаменателя равны 1, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) В пределе $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-1}{x^2+x+1}$ мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $x^2$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-1}{x^2+x+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
При $x \to -\infty$, выражения $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к нулю. Следовательно, предел равен:
$\frac{1 - 0}{1 + 0 + 0} = 1$.
Так как старшие степени числителя и знаменателя равны 2, предел равен отношению коэффициентов при $x^2$: $\frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

3) Рассмотрим предел $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$. Здесь также неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$. Так как $x \to +\infty$, то $x$ — положительное число, и мы можем записать $x = \sqrt{x^2}$.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}}$.
При $x \to +\infty$, $\frac{1}{x^2} \to 0$ и $\frac{1}{x} \to 0$, поэтому:
$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

4) Для вычисления предела $\lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}}$ имеем неопределенность вида $\frac{-\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$. Следует учесть, что $x \to -\infty$, поэтому $x$ — отрицательное число. При внесении $x$ под знак корня, мы должны использовать $x = -\sqrt{x^2}$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+3}}{-\sqrt{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{-\sqrt{\frac{x^2+3}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}$.
Поскольку при $x \to -\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$ и $\frac{3}{x^2} \to 0$, то предел равен:
$\frac{1 - 0}{-\sqrt{1 + 0}} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.