Номер 6.12, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.12. 1)

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 + 3x + 2}$;

2) $\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6x^2 - 5x + 1}{27x^3 - 1}$;

3) $\lim_{x \to 1.5} \frac{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}{4x^2 - 12x + 9}$;

4) $\lim_{x \to 0.5} \frac{4x^3 - 8x^2 + 5x - 1}{4x^3 - 3x + 1}$.

1)Найдем предел $ \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 + 3x + 2} $.При прямой подстановке предельного значения $ x = -1 $ в выражение под знаком предела получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Проверим это:Числитель: $ (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0 $.Знаменатель: $ (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 $.Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $ x = -1 $ является корнем для обоих многочленов, то каждый из них делится на $ (x - (-1)) = (x + 1) $.Разложим числитель:$ x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x + 1) - 1(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2 $.Разложим знаменатель:$ x^2 + 3x + 2 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = -2 $.Следовательно, $ x^2 + 3x + 2 = (x - (-1))(x - (-2)) = (x + 1)(x + 2) $.Подставим разложения в исходный предел и сократим общий множитель $ (x + 1) $:$ \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)^2}{(x + 1)(x + 2)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 2} $.Теперь выполним подстановку $ x = -1 $:$ \frac{(-1 - 1)(-1 + 1)}{-1 + 2} = \frac{-2 \cdot 0}{1} = 0 $.Ответ: $0$.

2)Найдем предел $ \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6x^2 - 5x + 1}{27x^3 - 1} $.При прямой подстановке $ x = 1/3 $ получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $.Числитель: $ 6(\frac{1}{3})^2 - 5(\frac{1}{3}) + 1 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{5}{3} + 1 = \frac{2}{3} - \frac{5}{3} + \frac{3}{3} = 0 $.Знаменатель: $ 27(\frac{1}{3})^3 - 1 = 27(\frac{1}{27}) - 1 = 1 - 1 = 0 $.Разложим числитель и знаменатель на множители. Общим множителем будет $ (x - 1/3) $ или $ (3x - 1) $.Разложим числитель $ 6x^2 - 5x + 1 $. Корни квадратного уравнения $ 6x^2 - 5x + 1 = 0 $ равны $ x_1 = \frac{1}{3} $ и $ x_2 = \frac{1}{2} $.Следовательно, $ 6x^2 - 5x + 1 = 6(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2}) = 3(x - \frac{1}{3}) \cdot 2(x - \frac{1}{2}) = (3x - 1)(2x - 1) $.Разложим знаменатель, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:$ 27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x - 1)((3x)^2 + 3x \cdot 1 + 1^2) = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) $.Подставим разложения в предел и сократим на $ (3x - 1) $:$ \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{(3x - 1)(2x - 1)}{(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{2x - 1}{9x^2 + 3x + 1} $.Теперь выполним подстановку $ x = 1/3 $:$ \frac{2(\frac{1}{3}) - 1}{9(\frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{3}) + 1} = \frac{\frac{2}{3} - 1}{9 \cdot \frac{1}{9} + 1 + 1} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 + 1 + 1} = \frac{-\frac{1}{3}}{3} = -\frac{1}{9} $.Ответ: $-\frac{1}{9}$.

3)Найдем предел $ \lim_{x \to 1,5} \frac{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}{4x^2 - 12x + 9} $.При подстановке $ x = 1,5 = 3/2 $ получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $.Числитель: $ 8(\frac{3}{2})^3 - 36(\frac{3}{2})^2 + 54(\frac{3}{2}) - 27 = 8 \cdot \frac{27}{8} - 36 \cdot \frac{9}{4} + 27 \cdot 3 - 27 = 27 - 81 + 81 - 27 = 0 $.Знаменатель: $ 4(\frac{3}{2})^2 - 12(\frac{3}{2}) + 9 = 4 \cdot \frac{9}{4} - 18 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 $.Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что выражения в числителе и знаменателе являются формулами сокращенного умножения.Знаменатель - это квадрат разности: $ 4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2 $.Числитель - это куб разности: $ 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 - 3^3 = (2x - 3)^3 $.Подставим разложения в предел:$ \lim_{x \to 1,5} \frac{(2x - 3)^3}{(2x - 3)^2} = \lim_{x \to 1,5} (2x - 3) $.Теперь выполним подстановку $ x = 1,5 $:$ 2 \cdot 1,5 - 3 = 3 - 3 = 0 $.Ответ: $0$.

4)Найдем предел $ \lim_{x \to 0,5} \frac{4x^3 - 8x^2 + 5x - 1}{4x^3 - 3x + 1} $.При подстановке $ x = 0,5 = 1/2 $ получаем неопределенность $ \frac{0}{0} $.Числитель: $ 4(\frac{1}{2})^3 - 8(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 1 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 8 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 1 = \frac{1}{2} - 2 + \frac{5}{2} - 1 = 3 - 3 = 0 $.Знаменатель: $ 4(\frac{1}{2})^3 - 3(\frac{1}{2}) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{8} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -1 + 1 = 0 $.Разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку $ x = 1/2 $ является корнем для обоих многочленов, то $ (x - 1/2) $ или $ (2x - 1) $ является их общим множителем.Разложим числитель $ 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1 $. Заметим, что $ x = 1/2 $ является корнем кратности 2, т.к. производная $ 12x^2 - 16x + 5 $ также обращается в нуль при $ x = 1/2 $: $ 12(\frac{1}{4}) - 16(\frac{1}{2}) + 5 = 3 - 8 + 5 = 0 $.Факторизация числителя: $ 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1 = (2x - 1)^2(x - 1) $.Разложим знаменатель $ 4x^3 - 3x + 1 $. Аналогично, $ x = 1/2 $ является корнем кратности 2, т.к. производная $ 12x^2 - 3 $ также обращается в нуль при $ x = 1/2 $: $ 12(\frac{1}{4}) - 3 = 3 - 3 = 0 $.Факторизация знаменателя: $ 4x^3 - 3x + 1 = (2x - 1)^2(x + 1) $.Подставим разложения в предел:$ \lim_{x \to 0,5} \frac{(2x - 1)^2(x - 1)}{(2x - 1)^2(x + 1)} = \lim_{x \to 0,5} \frac{x - 1}{x + 1} $.Теперь выполним подстановку $ x = 0,5 $:$ \frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} = \frac{-0,5}{1,5} = -\frac{1}{3} $.Ответ: $-\frac{1}{3}$.