Номер 6.17, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.17. 1) $\lim_{x\to0} \frac{\sin 4x}{2x}$;

2) $\lim_{x\to0} \frac{3x}{\sin 5x}$;

3) $\lim_{x\to0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$;

4) $\lim_{x\to0} \frac{\sin mx}{\sin nx}$.

1) Для вычисления данного предела воспользуемся первым замечательным пределом: $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $.
Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы можно было применить эту формулу. Аргумент синуса равен $4x$, поэтому нам нужно получить $4x$ в знаменателе. Для этого умножим и разделим знаменатель на 2:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{2x \cdot \frac{2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 2 $
Вынесем константу за знак предела:
$ 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} $
Сделаем замену переменной: пусть $ u = 4x $. Когда $ x \to 0 $, то и $ u \to 0 $.
$ 2 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 2 \cdot 1 = 2 $
Ответ: $2$

2) Для решения этого примера также используется первый замечательный предел $ \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 $, а точнее, его следствие $ \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = \lim_{u \to 0} \frac{1}{\frac{\sin u}{u}} = \frac{1}{1} = 1 $.
Преобразуем выражение. Аргумент синуса равен $5x$, поэтому в числителе нам нужен множитель $5x$. Умножим и разделим дробь на 5:
$ \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x \cdot 5}{\sin 5x \cdot 5} = \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3}{5} $
Вынесем константу $ \frac{3}{5} $ за знак предела:
$ \frac{3}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} $
Сделаем замену переменной: пусть $ u = 5x $. Когда $ x \to 0 $, то и $ u \to 0 $.
$ \frac{3}{5} \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} $
Ответ: $ \frac{3}{5} $

3) Для нахождения этого предела преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на $x$ (при $x \to 0$ мы имеем $x \neq 0$).
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 4x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} $
Теперь воспользуемся свойством предела частного, которое равно частному пределов (если предел знаменателя не равен нулю):
$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}} $
Вычислим предел в числителе, используя первый замечательный предел:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 4 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 4 \cdot 1 = 4 $
Аналогично вычислим предел в знаменателе:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 5 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 5 \cdot 1 = 5 $
Таким образом, искомый предел равен:
$ \frac{4}{5} $
Ответ: $ \frac{4}{5} $

4) Этот пример является обобщением предыдущего. Будем действовать аналогично, считая $m$ и $n$ константами ($n \neq 0$).
Разделим числитель и знаменатель на $x$ (поскольку $x \to 0$, то $x \neq 0$):
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{\sin nx} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin mx}{x}}{\frac{\sin nx}{x}} $
Применим теорему о пределе частного:
$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{x}} $
Найдем предел числителя, приведя его к первому замечательному пределу:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{mx} \cdot m = m \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{mx} = m \cdot 1 = m $
Аналогично для знаменателя:
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{nx} \cdot n = n \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin nx}{nx} = n \cdot 1 = n $
Подставляя найденные значения, получаем результат:
$ \frac{m}{n} $
Ответ: $ \frac{m}{n} $