Номер 6.22, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.22. Найдите все асимптоты функции и схематически постройте ее график:

1) $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$; 2) $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$; 3) $y = 2x - \frac{4}{x + 2} - 3$;

4) $y = \frac{2x}{3 - x} + 4$; 5) $y = 3x - \frac{1}{x}$; 6) $y = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$.

1) $y = \frac{x^2+1}{x-1}$

1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
$D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.
Исследуем поведение функции в точке разрыва $x=1$:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+1}{x-1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+1}{x-1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$
Следовательно, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Ищем асимптоту вида $y = kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+1/x^2}{1-1/x} = 1$.
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+1}{x-1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1 - x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1 - x^2+x}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-1} = 1$.
Следовательно, прямая $y = x+1$ является наклонной асимптотой. Горизонтальных асимптот нет.
Альтернативно, можно выделить целую часть: $y = \frac{x^2-1+2}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)+2}{x-1} = x+1 + \frac{2}{x-1}$. При $x \to \infty$, $\frac{2}{x-1} \to 0$, значит $y \to x+1$.

4. Схематический график.
Для построения графика найдем точки пересечения с осями и экстремумы.
Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{0+1}{0-1} = -1$. Точка $(0, -1)$.
Пересечение с осью Ox ($y=0$): $x^2+1=0$. Действительных корней нет, пересечения с осью Ox нет.
$y' = (\frac{x^2+1}{x-1})' = \frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$.
$y'=0 \Rightarrow x^2-2x-1=0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$.
Локальный максимум в точке $x = 1-\sqrt{2} \approx -0.41$, $y(1-\sqrt{2}) = 2-2\sqrt{2} \approx -0.83$.
Локальный минимум в точке $x = 1+\sqrt{2} \approx 2.41$, $y(1+\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2} \approx 4.83$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=1$, наклонная асимптота $y=x+1$.

2) $y = \frac{2x-1}{x+1}$

1. Область определения.
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.
Исследуем точку $x=-1$:
$\lim_{x \to -1^-} \frac{2x-1}{x+1} = \frac{-3}{0^-} = +\infty$
$\lim_{x \to -1^+} \frac{2x-1}{x+1} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$
Прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
$\lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2-1/x}{1+1/x} = 2$.
Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.
Альтернативно: $y = \frac{2(x+1)-3}{x+1} = 2 - \frac{3}{x+1}$. При $x \to \infty$, $y \to 2$.

4. Схематический график.
Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = \frac{-1}{1} = -1$. Точка $(0, -1)$.
Пересечение с осью Ox ($y=0$): $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Точка $(0.5, 0)$.
$y' = \frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0$. Функция всегда возрастает, экстремумов нет.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=2$.

3) $y = 2x - \frac{4}{x+2} - 3$

1. Область определения.
$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
$D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.
Исследуем точку $x=-2$:
$\lim_{x \to -2^-} (2x - 3 - \frac{4}{x+2}) = -7 - \frac{4}{0^-} = -7 + \infty = +\infty$
$\lim_{x \to -2^+} (2x - 3 - \frac{4}{x+2}) = -7 - \frac{4}{0^+} = -7 - \infty = -\infty$
Прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Функция представлена в виде $y = (2x-3) - \frac{4}{x+2}$.
При $x \to \infty$, член $\frac{4}{x+2} \to 0$. Следовательно, график функции приближается к прямой $y = 2x-3$.
Прямая $y=2x-3$ является наклонной асимптотой. Горизонтальных асимптот нет.

4. Схематический график.
Приведем к общему знаменателю: $y = \frac{(2x-3)(x+2)-4}{x+2} = \frac{2x^2+x-10}{x+2}$.
Пересечение с Oy ($x=0$): $y = -10/2 = -5$. Точка $(0, -5)$.
Пересечение с Ox ($y=0$): $2x^2+x-10=0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+80}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}$. $x_1=2$, $x_2=-2.5$. Точки $(2, 0)$ и $(-2.5, 0)$.
$y' = 2 + \frac{4}{(x+2)^2} > 2 > 0$. Функция всегда возрастает, экстремумов нет.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=-2$, наклонная асимптота $y=2x-3$.

4) $y = \frac{2x}{3-x} + 4$

1. Область определения.
$3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
$D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.
Приведем к общему знаменателю: $y = \frac{2x+4(3-x)}{3-x} = \frac{12-2x}{3-x}$.
$\lim_{x \to 3^-} \frac{12-2x}{3-x} = \frac{6}{0^+} = +\infty$
$\lim_{x \to 3^+} \frac{12-2x}{3-x} = \frac{6}{0^-} = -\infty$
Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
$\lim_{x \to \infty} \frac{12-2x}{3-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{12/x-2}{3/x-1} = \frac{-2}{-1} = 2$.
Прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.

4. Схематический график.
Пересечение с Oy ($x=0$): $y = 12/3 = 4$. Точка $(0, 4)$.
Пересечение с Ox ($y=0$): $12-2x=0 \Rightarrow x=6$. Точка $(6, 0)$.
$y' = \frac{-2(3-x)-(12-2x)(-1)}{(3-x)^2} = \frac{-6+2x+12-2x}{(3-x)^2} = \frac{6}{(3-x)^2} > 0$. Функция всегда возрастает, экстремумов нет.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=3$, горизонтальная асимптота $y=2$.

5) $y = 3x - \frac{1}{x}$

1. Область определения.
$x \neq 0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.
Исследуем точку $x=0$:
$\lim_{x \to 0^-} (3x - \frac{1}{x}) = 0 - (-\infty) = +\infty$
$\lim_{x \to 0^+} (3x - \frac{1}{x}) = 0 - (+\infty) = -\infty$
Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
При $x \to \infty$, член $\frac{1}{x} \to 0$. Следовательно, график функции приближается к прямой $y = 3x$.
Прямая $y=3x$ является наклонной асимптотой. Горизонтальных асимптот нет.

4. Схематический график.
Приведем к общему знаменателю: $y = \frac{3x^2-1}{x}$.
Пересечение с Oy ($x=0$): не существует.
Пересечение с Ox ($y=0$): $3x^2-1=0 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0.58$. Точки $(\pm 1/\sqrt{3}, 0)$.
$y' = 3 + \frac{1}{x^2} > 0$. Функция всегда возрастает, экстремумов нет.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=3x$.

6) $y = \frac{x^3-1}{x^2+1}$

1. Область определения.
Знаменатель $x^2+1 \ge 1$ для всех $x$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.
Так как функция определена на всей числовой оси, вертикальных асимптот нет.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Выделим целую часть: $\frac{x^3-1}{x^2+1} = \frac{x(x^2+1)-x-1}{x^2+1} = x - \frac{x+1}{x^2+1}$.
При $x \to \infty$, дробь $\frac{x+1}{x^2+1} \to 0$. Следовательно, график функции приближается к прямой $y=x$.
Прямая $y=x$ является наклонной асимптотой. Горизонтальных асимптот нет.

4. Схематический график.
Пересечение с Oy ($x=0$): $y = -1/1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
Пересечение с Ox ($y=0$): $x^3-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.
$y' = \frac{3x^2(x^2+1)-(x^3-1)2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4+3x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x(x^3+3x+2)}{(x^2+1)^2}$.
$y'=0$ при $x=0$ и $x \approx -0.596$.
Локальный максимум в точке $x \approx -0.596$, $y \approx -0.89$.
Локальный минимум в точке $x=0$, $y=-1$.
График пересекает асимптоту $y=x$, когда $-\frac{x+1}{x^2+1}=0$, т.е. $x=-1$. Точка пересечения $(-1, -1)$.

Ответ: Наклонная асимптота $y=x$, вертикальных асимптот нет.