Номер 6.20, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.20. Докажите равенство $\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \frac{m}{n}, (m, n \in N)$.

Для доказательства равенства $\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \frac{m}{n}$, где $m, n \in \mathbb{N}$, необходимо вычислить предел в левой части. При прямой подстановке $x=1$ в выражение возникает неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Эту неопределенность можно раскрыть несколькими способами.

Решение 1: С помощью разложения на множители

Воспользуемся известной формулой для разности степеней: $a^k - 1 = (a-1)(a^{k-1} + a^{k-2} + \dots + a + 1)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $x^m - 1 = (x-1)(x^{m-1} + x^{m-2} + \dots + x + 1)$.

Знаменатель: $x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)$.

Подставим эти разложения в исходный предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^{m-1} + x^{m-2} + \dots + x + 1)}{(x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1)}$

Поскольку $x$ стремится к 1, но не равен 1 ($x \neq 1$), мы можем сократить на общий множитель $(x-1)$:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{m-1} + x^{m-2} + \dots + x + 1}{x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1}$

Теперь неопределенность устранена, и мы можем подставить $x=1$ в оставшееся выражение. Сумма в числителе состоит из $m$ слагаемых, каждое из которых равно 1. Сумма в знаменателе состоит из $n$ слагаемых, каждое из которых также равно 1.

$\frac{\overbrace{1 + 1 + \dots + 1}^{m \text{ слагаемых}}}{\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{n \text{ слагаемых}}} = \frac{m}{n}$

Таким образом, исходное равенство доказано.

Ответ: Равенство $\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \frac{m}{n}$ доказано с помощью разложения на множители.

Решение 2: С помощью правила Лопиталя

Так как предел имеет неопределенность вида $\frac{0}{0}$, мы можем применить правило Лопиталя. Для этого найдем производные числителя и знаменателя по переменной $x$.

Производная числителя: $(x^m - 1)' = mx^{m-1}$.

Производная знаменателя: $(x^n - 1)' = nx^{n-1}$.

Согласно правилу Лопиталя, исходный предел равен пределу отношения производных:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{mx^{m-1}}{nx^{n-1}}$

Теперь подставим предельное значение $x=1$ в полученное выражение:

$\frac{m \cdot 1^{m-1}}{n \cdot 1^{n-1}} = \frac{m \cdot 1}{n \cdot 1} = \frac{m}{n}$

Этот результат подтверждает исходное равенство.

Ответ: Равенство $\lim_{x \to 1} \frac{x^m - 1}{x^n - 1} = \frac{m}{n}$ доказано с помощью правила Лопиталя.