Номер 6.25, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.25. Найдите предел:

1) $\lim_{x\to 0} \frac{x^3}{\sin^3 x}$;

2) $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg}^2 3x}{3x^2}$;

3) $\lim_{x\to \alpha} \frac{\sin^2 x - \sin^2 \alpha}{x^2 - \alpha^2}$;

4) $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} x - \sin x}{x^3}$.

1) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{x^3}{\sin^3 x}$.
Данное выражение можно переписать в виде:
$\lim_{x\to0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^3$
Используя свойство предела степени, получаем:
$\left(\lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x}\right)^3$
Согласно первому замечательному пределу, $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Следовательно, предел обратной величины также равен 1:
$\lim_{x\to0} \frac{x}{\sin x} = \lim_{x\to0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{1} = 1$
Подставляя значение этого предела в наше выражение, получаем:
$(1)^3 = 1$
Ответ: $1$

2) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{tg}^2 3x}{3x^2}$.
Воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых функций при $x \to 0$: $\operatorname{tg} u \sim u$. В нашем случае $u = 3x$, и при $x \to 0$, $3x \to 0$.
Следовательно, $\operatorname{tg} 3x \sim 3x$, а $\operatorname{tg}^2 3x \sim (3x)^2 = 9x^2$.
Заменим в пределе функцию на эквивалентную ей:
$\lim_{x\to0} \frac{9x^2}{3x^2} = \lim_{x\to0} 3 = 3$
Ответ: $3$

3) Найдем предел $\lim_{x\to\alpha} \frac{\sin^2 x - \sin^2 \alpha}{x^2 - \alpha^2}$.
При $x \to \alpha$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся правилом Лопиталя. Для этого найдем производные числителя и знаменателя по переменной $x$.
Производная числителя: $(\sin^2 x - \sin^2 \alpha)' = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.
Производная знаменателя: $(x^2 - \alpha^2)' = 2x$.
Теперь найдем предел отношения этих производных:
$\lim_{x\to\alpha} \frac{\sin(2x)}{2x}$
Подставим в полученное выражение $x = \alpha$:
$\frac{\sin(2\alpha)}{2\alpha}$
Ответ: $\frac{\sin(2\alpha)}{2\alpha}$

4) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{tg} x - \sin x}{x^3}$.
При $x \to 0$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Преобразуем числитель:
$\operatorname{tg} x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x}$
Подставим преобразованное выражение обратно в предел:
$\lim_{x\to0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$
Разобьем предел на произведение нескольких пределов:
$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x}$
Вычислим каждый из них:
1. $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (первый замечательный предел).
2. $\lim_{x\to0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = 1$.
3. Для вычисления $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ используем формулу $1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$:
$\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{4\left(\frac{x}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \lim_{x\to0} \left(\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$.
Теперь перемножим результаты:
$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$