Номер 6.21, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.21. Докажите формулу $lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Для доказательства этой формулы, известной как первый замечательный предел, мы воспользуемся геометрическим методом и теоремой о двух милиционерах (также известной как теорема о сжатии или сэндвич-теорема).

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат $O$. Пусть угол $x$ измеряется в радианах. Для доказательства сначала рассмотрим случай, когда $x$ — малый положительный угол, то есть $0 < x < \pi/2$. Построим соответствующий чертеж.

На рисунке изображен сектор единичной окружности $OAP$. $A$ — точка $(1,0)$. $P$ — точка на окружности, такая что угол $\angle AOP = x$ радиан. $PB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на ось $Ox$. В прямоугольном треугольнике $OPB$, катет $PB = OP \cdot \sin x = 1 \cdot \sin x = \sin x$. $AD$ — отрезок касательной к окружности в точке $A$. В прямоугольном треугольнике $OAD$, катет $AD = OA \cdot \tan x = 1 \cdot \tan x = \tan x$. Длина дуги $AP$ по определению радианной меры угла равна $R \cdot x = 1 \cdot x = x$. На рисунке красным цветом выделен отрезок, равный $\sin x$, зеленым — дуга, равная $x$, и синим — отрезок, равный $\tan x$.

Из рисунка геометрически очевидно, что длина отрезка $PB$ меньше длины дуги $AP$, а длина дуги $AP$ меньше длины отрезка $AD$. Таким образом, мы получаем двойное неравенство:

$$ \sin x < x < \tan x $$

Поскольку мы рассматриваем случай $0 < x < \pi/2$, то $\sin x > 0$. Разделим все части неравенства на $\sin x$:

$$ \frac{\sin x}{\sin x} < \frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} $$

Учитывая, что $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$$ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} $$

Теперь возьмем обратные величины для всех частей неравенства. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$$ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 $$

Это неравенство справедливо для всех $x$ из интервала $(0, \pi/2)$. Теперь найдем пределы левой и правой частей неравенства при $x \to 0^+$:

$$ \lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos 0 = 1 $$

$$ \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 $$

Так как функция $\frac{\sin x}{x}$ заключена между двумя функциями, пределы которых при $x \to 0^+$ равны 1, то по теореме о двух милиционерах, предел нашей функции также равен 1:

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Теперь рассмотрим случай, когда $x \to 0^-$. Пусть $x = -y$, где $y > 0$. Когда $x \to 0^-$, то $y \to 0^+$. Тогда, используя нечетность функции синус ($\sin(-y) = -\sin y$):

$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{y \to 0^+} \frac{\sin(-y)}{-y} = \lim_{y \to 0^+} \frac{-\sin y}{-y} = \lim_{y \to 0^+} \frac{\sin y}{y} $$

Как мы уже доказали, этот предел равен 1. Следовательно,

$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Поскольку односторонние пределы слева и справа равны и существуют, то существует и двусторонний предел, который также равен 1.

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ доказана с помощью геометрического метода, основанного на сравнении длины дуги и длин отрезков в единичной окружности, и последующего применения теоремы о двух милиционерах (теоремы о сжатии).