Номер 6.14, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.14. 1) $\lim_{x\to 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5};$

2) $\lim_{x\to -3} \frac{x+3}{\sqrt{x+4}-1};$

3) $\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h};$

4) $\lim_{x\to 16} \frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}.$

1) Вычислим предел $\lim_{x\to5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}$.
При подстановке $x=5$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{\sqrt{5-1}-2}{5-5} = \frac{\sqrt{4}-2}{0} = \frac{2-2}{0} = \frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x-1}+2$. $\lim_{x\to5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5} = \lim_{x\to5} \frac{(\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x-1}+2)}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}$
В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $\lim_{x\to5} \frac{(\sqrt{x-1})^2 - 2^2}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)} = \lim_{x\to5} \frac{x-1-4}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)} = \lim_{x\to5} \frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}$
Поскольку $x \to 5$, то $x \ne 5$, и мы можем сократить дробь на $(x-5)$: $\lim_{x\to5} \frac{1}{\sqrt{x-1}+2}$
Теперь подставим $x=5$: $\frac{1}{\sqrt{5-1}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Вычислим предел $\lim_{x\to-3} \frac{x+3}{\sqrt[3]{x+4}-1}$.
При подстановке $x=-3$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{-3+3}{\sqrt[3]{-3+4}-1} = \frac{0}{\sqrt[3]{1}-1} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы, чтобы использовать формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае $a=\sqrt[3]{x+4}$ и $b=1$. Множитель: $(\sqrt[3]{x+4})^2 + \sqrt[3]{x+4} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{x+4} + 1$. $\lim_{x\to-3} \frac{(x+3)(\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{x+4} + 1)}{(\sqrt[3]{x+4}-1)(\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{x+4} + 1)} = \lim_{x\to-3} \frac{(x+3)(\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{x+4} + 1)}{(\sqrt[3]{x+4})^3 - 1^3}$
$= \lim_{x\to-3} \frac{(x+3)(\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{x+4} + 1)}{x+4-1} = \lim_{x\to-3} \frac{(x+3)(\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{x+4} + 1)}{x+3}$
Сокращаем на $(x+3)$: $\lim_{x\to-3} (\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{x+4} + 1)$
Подставляем $x=-3$: $\sqrt[3]{(-3+4)^2} + \sqrt[3]{-3+4} + 1 = \sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: $3$.

3) Вычислим предел $\lim_{h\to0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$.
Этот предел по определению является производной функции $f(x) = \sqrt{x}$. При подстановке $h=0$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$: $\lim_{h\to0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h\to0} \frac{(\sqrt{x+h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
$= \lim_{h\to0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \lim_{h\to0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
Поскольку $h \to 0$, то $h \ne 0$, и мы можем сократить на $h$: $\lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$
Подставляем $h=0$: $\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. (При $x>0$)
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

4) Вычислим предел $\lim_{x\to16} \frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}$.
При подстановке $x=16$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{\sqrt[4]{16}-2}{\sqrt{16}-4} = \frac{2-2}{4-4} = \frac{0}{0}$.
Заметим, что знаменатель можно разложить на множители, используя тот факт, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ и $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов: $\sqrt{x}-4 = (\sqrt[4]{x})^2 - 2^2 = (\sqrt[4]{x}-2)(\sqrt[4]{x}+2)$.
Подставим это в исходный предел: $\lim_{x\to16} \frac{\sqrt[4]{x}-2}{(\sqrt[4]{x}-2)(\sqrt[4]{x}+2)}$
Поскольку $x \to 16$, то $\sqrt[4]{x} \to 2$, и мы можем сократить на $(\sqrt[4]{x}-2)$: $\lim_{x\to16} \frac{1}{\sqrt[4]{x}+2}$
Подставляем $x=16$: $\frac{1}{\sqrt[4]{16}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.