Номер 6.15, страница 170 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.15. 1) $\lim_{x\to0} \frac{2\sqrt{x}-3x}{3\sqrt{x}-2x}$;

2) $\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}$;

3) $\lim_{x\to5} \frac{x\sqrt{x}-5\sqrt{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{5}};

4) $\lim_{x\to0} \frac{x}{\sqrt[3]{1+x}-1}$.

1) Вычислим предел $ \lim_{x\to0} \frac{2\sqrt{x}-3x}{3\sqrt{x}-2x} $.
При прямой подстановке значения $ x=0 $ в выражение получаем неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Для ее раскрытия вынесем $ \sqrt{x} $ за скобки в числителе и знаменателе. Поскольку по определению предела $ x $ стремится к нулю, но не равен ему ($ x \neq 0 $), мы можем сократить выражение на $ \sqrt{x} $. Заметим, что область определения $ \sqrt{x} $ требует $ x \ge 0 $, поэтому мы рассматриваем предел при $ x \to 0^+ $.
$ \lim_{x\to0} \frac{2\sqrt{x}-3x}{3\sqrt{x}-2x} = \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x}(2-3\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3-2\sqrt{x})} $
Сокращаем на $ \sqrt{x} $:
$ \lim_{x\to0} \frac{2-3\sqrt{x}}{3-2\sqrt{x}} $
Теперь можно выполнить подстановку $ x=0 $:
$ \frac{2-3\sqrt{0}}{3-2\sqrt{0}} = \frac{2-0}{3-0} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

2) Вычислим предел $ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x} $.
Прямая подстановка $ x=0 $ дает неопределенность $ \frac{0}{0} $. Аналогично первому примеру, вынесем $ \sqrt{x} $ за скобки, учитывая, что $ x = (\sqrt{x})^2 $.
$ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} $
Сокращаем на $ \sqrt{x} $ (так как $ x \to 0, x \neq 0 $):
$ \lim_{x\to0} \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} $
Выполняем подстановку $ x=0 $:
$ \frac{1-\sqrt{0}}{1+\sqrt{0}} = \frac{1-0}{1+0} = 1 $
Ответ: $ 1 $.

3) Вычислим предел $ \lim_{x\to5} \frac{x\sqrt{x}-5\sqrt{5}}{\sqrt{x}-\sqrt{5}} $.
Подстановка $ x=5 $ приводит к неопределенности $ \frac{0}{0} $. Заметим, что числитель можно представить как разность кубов, так как $ x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 $ и $ 5\sqrt{5} = (\sqrt{5})^3 $.
Воспользуемся формулой разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, где $ a = \sqrt{x} $ и $ b = \sqrt{5} $.
$ (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{5})^3 = (\sqrt{x}-\sqrt{5})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) = (\sqrt{x}-\sqrt{5})(x+\sqrt{5x}+5) $
Подставим это разложение в исходный предел:
$ \lim_{x\to5} \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{5})(x+\sqrt{5x}+5)}{\sqrt{x}-\sqrt{5}} $
Поскольку $ x \to 5 $, то $ x \neq 5 $, и множитель $ (\sqrt{x}-\sqrt{5}) $ не равен нулю, поэтому на него можно сократить.
$ \lim_{x\to5} (x+\sqrt{5x}+5) $
Теперь подставляем $ x=5 $:
$ 5 + \sqrt{5 \cdot 5} + 5 = 5 + \sqrt{25} + 5 = 5+5+5=15 $
Ответ: $ 15 $.

4) Вычислим предел $ \lim_{x\to0} \frac{x}{\sqrt[3]{1+x}-1} $.
Подстановка $ x=0 $ дает неопределенность вида $ \frac{0}{0} $. Чтобы раскрыть ее, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.
В нашем случае $ a = \sqrt[3]{1+x} $ и $ b = 1 $. Знаменатель имеет вид $ a-b $. Сопряженным выражением является неполный квадрат суммы $ a^2+ab+b^2 = (\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{(1+x)^2} + \sqrt[3]{1+x} + 1 $.
$ \lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt[3]{(1+x)^2} + \sqrt[3]{1+x} + 1)}{(\sqrt[3]{1+x}-1)(\sqrt[3]{(1+x)^2} + \sqrt[3]{1+x} + 1)} $
Применив формулу в знаменателе, получим:
$ (\sqrt[3]{1+x})^3 - 1^3 = (1+x) - 1 = x $
Предел примет вид:
$ \lim_{x\to0} \frac{x(\sqrt[3]{(1+x)^2} + \sqrt[3]{1+x} + 1)}{x} $
Сокращаем дробь на $ x $ (так как $ x \neq 0 $):
$ \lim_{x\to0} (\sqrt[3]{(1+x)^2} + \sqrt[3]{1+x} + 1) $
Теперь подставляем $ x=0 $:
$ \sqrt[3]{(1+0)^2} + \sqrt[3]{1+0} + 1 = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} + 1 = 1+1+1=3 $
Ответ: $ 3 $.