Номер 6.23, страница 171 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.23. Найдите односторонние пределы функции в точке $x = 1$ и сравните их со значением $f(1):$

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 1, \\ 2x - 1, & \text{если } x \le 1; \end{cases}$

2) $g(x) = \begin{cases} 2, & \text{если } x > 1, \\ -2, & \text{если } x \le 1. \end{cases}$

1) Для функции $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 1 \\ 2x - 1, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$ найдем односторонние пределы в точке $x = 1$ и значение функции в этой точке.

Найдем правосторонний предел. Когда $x$ стремится к 1 справа ($x \to 1+0$), значения $x$ больше 1, поэтому используем формулу $f(x) = x^2 - 1$:
$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0$.

Найдем левосторонний предел. Когда $x$ стремится к 1 слева ($x \to 1-0$), значения $x$ меньше 1, поэтому используем формулу $f(x) = 2x - 1$:
$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.

Найдем значение функции в точке $x = 1$. Для этого случая ($x \le 1$) используется формула $f(x) = 2x - 1$:
$f(1) = 2(1) - 1 = 1$.

Сравним полученные значения. Левосторонний предел равен значению функции в точке: $\lim_{x \to 1-0} f(x) = f(1) = 1$. Правосторонний предел им не равен: $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 0$.

Ответ: левосторонний предел $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 1$, правосторонний предел $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 0$, значение функции $f(1) = 1$. Левосторонний предел равен значению функции, а правосторонний — нет.

2) Для функции $g(x) = \begin{cases} 2, & \text{если } x > 1 \\ -2, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$ найдем односторонние пределы в точке $x = 1$ и значение функции в этой точке.

Найдем правосторонний предел. При $x \to 1+0$ ($x>1$), функция равна константе 2:
$\lim_{x \to 1+0} g(x) = \lim_{x \to 1+0} 2 = 2$.

Найдем левосторонний предел. При $x \to 1-0$ ($x<1$), функция равна константе -2:
$\lim_{x \to 1-0} g(x) = \lim_{x \to 1-0} (-2) = -2$.

Найдем значение функции в точке $x = 1$. Для этого случая ($x \le 1$) функция равна -2:
$g(1) = -2$.

Сравним полученные значения. Левосторонний предел равен значению функции в точке: $\lim_{x \to 1-0} g(x) = g(1) = -2$. Правосторонний предел им не равен: $\lim_{x \to 1+0} g(x) = 2$.

Ответ: левосторонний предел $\lim_{x \to 1-0} g(x) = -2$, правосторонний предел $\lim_{x \to 1+0} g(x) = 2$, значение функции $g(1) = -2$. Левосторонний предел равен значению функции, а правосторонний — нет.